[논문 리뷰] Embeddings of the braid groups of covering spaces, classification of the finite subgroups of the braid groups of the real projective plane, and linearity of braid groups of low-genus surfaces

Daciberg Lima Gonçalves, John Guaschi|SPIRE - Sciences Po Institutional REpository|2009. 06. 15.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 29인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 컴acts, 연결된 표면의 브레인 군이 그 커버링 공간의 브레인 군에 임베딩됨을 증명하며, $ B_n(\mathbb{R}P^2) $ 가 $ B_{2n}(S^2) $ 에 임베딩됨을 보인다. 이 임베딩과 $ B_n $ 의 선형성 덕분에, 저자들은 $ B_n(\mathbb{R}P^2) $ 의 유한 부분군을 분류하고, 토러스 및 생가수 1인 비가역 표면을 포함한 저생가수 표면 위의 브레인 군의 선형성을 증명한다.

ABSTRACT

Let M be a compact, connected surface, possibly with a finite set of points removed from its interior. Let d,n be positive integers, and let N be a d-fold covering space of M. We show that the covering map induces an embedding of the n-th braid group B_n(M) of M in the (dn)-th braid group B_{dn}(N) of N, and give several applications of this result. First, we classify the finite subgroups of the n-th braid group of the real projective plane, from which we deduce an alternative proof of the classification of the finite subgroups of the mapping class group of the n-punctured real projective plane due to Bujalance, Cirre and Gamboa. Secondly, using the linearity of B_{n} due to Bigelow and Krammer, we show that the braid groups of compact, connected surfaces of low genus are linear.

연구 동기 및 목표

• 표면 $ M $ 의 $ d $-중 커버링 $ \widetilde{M} $ 에 대해, 브레인 군 $ B_n(M) $ 이 $ B_{dn}(\widetilde{M}) $ 에 일반적인 임베딩을 수립하는 것.
• $ B_n(\mathbb{R}P^2) $ 의 모든 유한 부분군을 분류하는 것. 이는 $ B_{2n}(S^2) $ 에 대한 임베딩을 활용한다.
• 구면, 실수 프로젝티브 평면, 토러스를 포함한, 저생가수를 가진 컴팩트하고 연결된 표면 위의 브레인 군의 선형성을 증명하는 것.
• $ n $-구멍을 가진 실수 프로젝티브 평면의 매핑 클래스 군의 유한 부분군 분류에 대한 대안적 증명을 제공하는 것.
• Malcev의 정리(유한 지수의 선형 부분군을 포함하는 군은 선형이다)를 활용하여, 비자명한 위상수학적 구조를 가진 표면 위의 브레인 군으로 $ B_n $ 의 알려진 선형성의 범위를 확장하는 것.

제안 방법

• 커버링 사상에 의해 유도된 호모모르피즘을 $ B_n(M) $ 에서 $ B_{dn}(\widetilde{M}) $ 로 정의하고, 구성공간의 위상적 및 군론적 성질을 사용하여 단사성을 증명한다.
• $ B_n(\mathbb{R}P^2) $ 가 $ B_{2n}(S^2) $ 에 임베딩됨을 이용하고, $ B_n(S^2) $ 의 알려진 선형성을 활용하여 토피컬 및 유한 부분군을 분석한다.
• $ B_n(S^2) $ 의 유한 부분군 분류와 $ B_n(\mathbb{R}P^2) $ 의 구조, 특히 전체 뒤틀림 $ \Delta_n^2 $ 과 이중순환군 $ \mathrm{Dic}_{8n} $ 의 역할을 적용한다.
• Malcev의 정리 적용: 군이 유한 지수의 선형 부분군을 포함하면 선형이다. 이는 표면의 순수 브레인 군에 적용된다.
• 기존의 동형사상 활용: $ P_n(S^2 \setminus \{x_1,x_2,x_3\}) \cong P_{n-3}(\mathbb{D}^2 \setminus \{x_1,x_2\}) \cong P_{n-1} $ 의 부분군으로서 선형임을 안다.
• Fadell-Neuwirth 단순계수열과 그 분할 가능성을 사용하여 $ \mathbb{R}P^2 $ 의 순수 브레인 군을 분석한다. 특히 $ n=3 $ 의 경우에 중점을 둔다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표면의 브레인 군은 그 커버링 공간의 브레인 군에 임베딩될 수 있는가? 어떤 조건에서 가능한가?
• RQ2 $ B_n(\mathbb{R}P^2) $ 의 모든 유한 부분군은 무엇이며, $ B_n(S^2) $ 의 구조와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 저생가수 표면(예: 구면, 실수 프로젝티브 평면, 토러스) 위의 브레인 군은 선형인가? 그리고 알려진 $ B_n $ 의 선형성으로 이를 증명할 수 있는가?
• RQ4 $ B_n(\mathbb{R}P^2) $ 가 $ B_{2n}(S^2) $ 에 임베딩됨은 순수 브레인 부분군의 구조에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 브레인 군의 임베딩을 통해 $ n $-구멍을 가진 실수 프로젝티브 평면의 매핑 클래스 군의 유한 부분군 분류를 재구성할 수 있는가?

주요 결과

• 커버링 사상은 $ B_n(M) $ 에서 $ B_{dn}(\widetilde{M}) $ 로 단사 호모모르피즘을 유도하며, 이는 $ B_n(\mathbb{R}P^2) $ 가 $ B_{2n}(S^2) $ 에 임베딩됨을 증명한다.
• $ B_n(\mathbb{R}P^2) $ 의 유한 부분군은 분류되었다: $ n \geq 2 $ 일 때, 순환군의 순서 $ 4n $, $ 4(n-1) $ 과 이중순환군 $ \mathrm{Dic}_{8n} $, $ \mathrm{Dic}_{8(n-1)} $ 이 포함된다.
• 순수 브레인 군 $ P_2(\mathbb{R}P^2) $ 는 헤이티안 군 $ \mathcal{Q}_8 $ 과 동형이며, $ B_2(\mathbb{R}P^2) $ 는 순서 16의 일반화된 헤이티안 군과 동형이다.
• $ n \geq 3 $ 일 때, $ B_n(\mathbb{R}P^2) $ 는 무한하다. 그리고 $ P_3(\mathbb{R}P^2) $ 는 순서 2인 자유군과 $ \mathcal{Q}_8 $ 의 반직접곱과 동형이다.
• 모든 컴팩트하고 연결된 표면 $ M $ 에 대해, 생가수 0 또는 1인 경우, 그리고 토러스에 대해 $ B_n(M) $ 는 선형이다. 이는 Malcev의 정리와 유한 지수 부분군을 이용하여 증명된다.
• $ B_n(S^2) $ 의 선형성은 새로운 방법으로 재증명되었다. 이는 유한 지수 부분군 $ P_n(S^2 \setminus \{x_1,x_2,x_3\}) \cong P_{n-3}(\mathbb{D}^2 \setminus \{x_1,x_2\}) \leq P_{n-1} $ 을 사용한 새로운 추론을 통해 이루어졌다. 이 부분군은 선형이다.