[논문 리뷰] Embezzlement States are Universal for Non-Local Strategies

Mateus de Oliveira Oliveira|arXiv (Cornell University)|2010. 09. 03.

Decision-Making and Behavioral Economics참고 문헌 27인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 임의의 라운드 수를 가진 이중 검증자 비국소 게임에서, 근사 상태 전달을 가능하게 하는 에미즈멘트 상태—양자 상태—가 보편적임을 증명한다. 임의의 얽힌 상태를 사용하는 전략이 에미즈멘트 상태를 유일하게 사용하여 다항 수준의 큐비트 오버헤드와 무시할 만한 오차로 근사 가능함을 보여, 저자들은 양자 및 고전적 MIP* 클래스가 이러한 상태로 제한되어도 그대로 유지됨을 확립하며, 검증자의 측정 회로를 보편적으로 표준화할 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

We prove that the family of embezzlement states defined by van Dam and Hayden [vanDamHayden2002] is universal for both quantum and classical entangled two-prover non-local games with an arbitrary number of rounds. More precisely, we show that for each $ε>0$ and each strategy for a k-round two-prover non-local game which uses a bipartite shared state on 2m qubits and makes the provers win with probability $ω$, there exists a strategy for the same game which uses an embezzlement state on $2m + 2m/ε$ qubits and makes the provers win with probability $ω-\sqrt{2ε}$. Since the value of a game can be defined as the limit of the value of a maximal 2m-qubit strategy as m goes to infinity, our result implies that the classes QMIP*_{c,s}[2,k] and MIP*_{c,s}[2,k] remain invariant if we allow the provers to share only embezzlement states, for any completeness value c in [0,1] and any soundness value s < c. Finally we notice that the circuits applied by each prover may be put into a very simple universal form.

연구 동기 및 목표

• 이중 검증자 비국소 게임에서 에미즈멘트 상태가 임의의 얽힌 전략을 보편적으로 근사할 수 있음을 확립하기 위해.
• 임의의 k라운드 비국소 게임의 가치가 오직 에미즈멘트 상태만을 사용할 경우에도 본질적으로 변화하지 않음을 보여주기 위해.
• 에미즈멘트 상태를 사용할 경우 검증자의 양자 연산을 보편적인 회로 집합으로 대체할 수 있음을 보여주기 위해.
• 에미즈멘트 상태로 제한되었을 때도 양자 및 고전적 MIP* 복잡도 클래스가 불변임을 증명하기 위해.

제안 방법

• 제어된 오차로 근사 상태 전달을 가능하게 하는 에미즈멘트 상태의 가족을 구성한다.
• 임의의 $ 2m $-큐비트 전략을 오차 최대 $ \sqrt{2\varepsilon} $로 근사하기 위해 $ 2m + 2m/\varepsilon $의 선형 큐비트 오버헤드를 사용한다.
• 소로바이-키타에프 정리를 적용하여 CNOT, H, π/8, SWAP를 포함하는 보편 게이트 세트를 사용해 임의의 유니터리 연산을 근사한다.
• 보조 큐비트 레지스터에 프로그램 상태를 임bedding하여 임의의 전략을 시뮬레이션하는 보편적인 측정 회로를 인코딩한다.
• 보조 큐비트 상태가 작업 레지스터에 적용할 게이트를 제어하는 인접 큐비트 기반의 제어 게이트 아키텍처를 구현한다.
• k라운드에 걸쳐 덧셈 오차 누적 기법을 적용하여 총 오차를 $ \varepsilon $ 이내로 제한함으로써 고정밀도 시뮬레이션을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 에미즈멘트 상태는 임의의 수의 라운드를 가진 이중 검증자 비국소 게임에서 임의의 얽힌 전략을 보편적으로 근사할 수 있는가?
• RQ2 에미즈멘트 상태만을 사용하여 임의의 얽힌 전략을 시뮬레이션하기 위해 필요한 최소 큐비트 오버헤드는 얼마인가?
• RQ3 에미즈멘트 상태 전략으로 제한되었을 경우 검증자의 측정 회로를 보편적으로 표준화할 수 있는가?
• RQ4 검증자가 오직 에미즈멘트 상태만 공유하도록 제한되었을 때도 양자 및 고전적 MIP* 클래스는 불변인가?
• RQ5 전략 근사 오차는 큐비트 수와 원하는 정밀도에 따라 어떻게 척도가 정해지는가?

주요 결과

• 모든 $ \varepsilon > 0 $에 대해, $ 2m $ 큐비트를 사용하고 승리 확률이 $ \omega $인 임의의 $ k $-라운드 이중 검증자 비국소 게임 전략은 $ 2m + 2m/\varepsilon $ 큐비트의 에미즈멘트 상태를 사용하여 승리 확률 최소 $ \omega - \sqrt{2\varepsilon} $로 근사할 수 있다.
• 큐비트 수가 무한대에 수렴함에 따라 비국소 게임의 가치가 에미즈멘트 상태만을 사용할 경우에도 극한에서 유지된다.
• 클래스 $ QMIP^{*}_{c,s}[2,k] $ 와 $ MIP^{*}_{c,s}[2,k] $ 는 에미즈멘트 상태로 제한되었을 때 불변이며, 모든 $ c \in [0,1] $, $ s < c $ 에 대해 $ QMIP^{E^{*}}_{c,s}[2,k] = QMIP^{*}_{c,s}[2,k] $ 와 $ MIP^{E^{*}}_{c,s}[2,k] = MIP^{*}_{c,s}[2,k] $ 를 만족한다.
• 검증자의 측정 연산은 보조 큐비트 레지스터 크기 $ M = k \cdot \text{poly}(2^d, \log(k/\varepsilon)) $ 를 사용하여 오차 $ \varepsilon $ 내에서 임의의 전략을 시뮬레이션하는 보편적인 회로 집합 $ \{ (\mathcal{X}_M, \mathcal{Y}_M) \} $ 로 대체할 수 있다.
• 보편적인 회로 구성은 인접 큐비트에 대한 제어 게이트를 사용하며, 제어는 원하는 게이트를 인코딩한 보조 큐비트 상태에 기반한다.
• 오차는 k라운드에 걸쳐 덧셈적으로 누적되며, 각 라운드의 오차가 $ \varepsilon/k $ 이면 총 오차는 $ \varepsilon $ 이내로 제한된다.