[논문 리뷰] Emerton's Jacquet functors for non-Borel parabolic subgroups

Richard Hill, David Loeffler|arXiv (Cornell University)|2010. 05. 24.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 10인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 $p$-진 표현 이론에서 비보렐 파라보릭 부분군에 대해 Emerton의 고유다양체 구축을 확장하며, 비가환 리만 요소에 대한 자코에트 함수를 사용한다. 유형별 성분이 도출된 부분군에 의해 생성되며, 중심 $Z(M)$의 본질적으로 적합한 국소 해석적 표현을 제공하여, 비주류 계열 $p$-진 성분을 갖는 자동형 양식을 $p$-진으로 보간하는 고유다양체를 가능하게 한다.

ABSTRACT

This paper studies Emerton's Jacquet module functor for locally analytic representations of p-adic reductive groups. When P is a parabolic subgroup whose Levi factor M is not commutative, we show that passing to an isotypical subspace for the derived subgroup of M gives rise to essentially admissible locally analytic representations of the torus Z(M), which have a natural interpretation in terms of rigid geometry. We use this to extend Emerton's representation-theoretic construction of eigenvarieties by constructing eigenvarieties interpolating automorphic representations whose local components at p are not necessarily principal series.

연구 동기 및 목표

• 보렐 부분군을 초월하여 Emerton의 고유다양체 구축을 일반화함으로써, $p$-진 국소 성분이 반드시 주류 계열이 아니어야 하는 경우를 다루는 것.
• 국소 해석적 표현의 $p$-진 재조화군에 대해 비보렐 파라보릭 부분군의 맥락에서 Emerton의 자코에트 모듈 함수의 행동을 연구하는 것.
• 리만 요소의 도출 부분군에 대한 유형별 부분공간을 사용하여, $p$-진 국소 성분이 주류 계열이 아닌 자동형 표현을 매개하는 고유다양체를 구축하는 것.
• 강체 해석적 공간과 $\widehat{Z(M)}$ 위의 코herent sheaf를 통한 이러한 표현의 기하학적 해석을 확립하는 것.
• 표준 보렐 기반 방법이 실패하는 경우, 특히 $J_B(\pi_\mathfrak{p}) = 0$일 때 고유다양체 구축을 확장하는 것.

제안 방법

• 리만 요소 $M$이 비가환일 경우 일반 파라보릭 부분군 $P$에 대해 Emerton의 자코에트 함수 $J_P$를 적용한다.
• 리만 요소 $M$의 도출 부분군 $D = [M,M]$에 대한 유형별 부분공간으로 이동하여 중심 $Z(M)$의 표현을 얻는다.
• 본질적으로 적합한 국소 해석적 표현과 $\widehat{Z(M)}$ 위의 코herent sheaf 사이의 반대이sovence를 사용한다.
• 비분열 히케 대수 $\mathcal{H}^\mathrm{sph}$가 자코에트 모듈 $J_P(\widetilde{H}^i_{\mathrm{la}})$에 작용하는 상대 스펙트럼으로 고유다양체를 구축한다.
• 더 작은 파라보릭 부분군 $P_2 \subset P_1$에 대해 $Z_2$-원소의 작용을 이용하여 자코에트 모듈을 유한 기울기 및 영 부분으로 분해한다.
• 히케 작용과 가환하는 자코에트 모듈의 몫을 통해 유한 기울기 부분이 $P_2$에 관련된 고유다양체의 부분다양체와 관련지어진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Emerton의 고유다양체 구축은 국소 성분이 주류 계열이 아닌 비보렐 파라보릭 부분군으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 리만 요소 $M$이 비가환일 경우 자코에트 모듈 $J_P(\widetilde{H}^i_{\mathrm{la}})$의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ3 도출 부분군 $D = [M,M]$에 대한 유형별 성분은 어떻게 사용되어 비주류 계열 자동형 양식을 매개하는 고유다양체를 구축할 수 있는가?
• RQ4 결과로 얻어진 표현의 기하학적 해석은 강체 해석적 공간과 코herent sheaf를 통해 어떻게 기술될 수 있는가?
• RQ5 중첩된 파라보릭 $P_2 \subset P_1$에 대한 기울기와 영 부분으로의 분해는 고유다양체의 구조에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 리만 요소 $M$의 도출 부분군 $D$에 대한 유형별 부분공간으로 이동하면 중심 $Z(M)$의 본질적으로 적합한 국소 해석적 표현을 얻으며, 이는 $\widehat{Z(M)}$ 위의 코herent sheaf를 통해 기하학적으로 해석 가능하다.
• 고유다양체 $\mathcal{E}(i,P,W,U)$는 $\theta\chi$가 $Z(M)$의 문자이고 $\lambda$가 히케 고유문자인 점 $(\theta\chi, \lambda)$를 매개하며, 이에 대응하는 $J_P(\widetilde{H}^i_{\mathrm{la}})$ 내 고유공간이 비영일 조건을 만족한다.
• 고전적 점 $E(i,P,W,U)_{\mathrm{cl}}$의 자리를르티 클로처의 차원은 $\dim Z(M)$ 이하이며, 이는 매개변수 공간의 기하학적 제약을 반영한다.
• 약한 Emerton 기준이 성립할 경우, 고유다양체의 고전적 점들은 고유다양체와 가능한 한 추가 점 $(\chi^{-1}, 1)$의 합집합에 포함된다. 이 경우 $W$가 문자일 수 있다.
• 중첩된 파라보릭 $P_1 \supseteq P_2$에 대해 고유다양체 $\mathcal{E}(i,P_1,W,U)$는 유한 기울기 부분과 영 부분으로 분해되며, 유한 기울기 부분은 $\mathcal{E}(i,P_2,W^{N_{12}},U \cap D_2)$에서 온 몫 층의 푸시포워드와 동형이다.
• 히케 대수 $\mathcal{H}^\mathrm{ram}$는 유한 기울기 부분에 대해 가역적으로 작용하고 영 부분에 대해 멱영적으로 작용하며, 이는 자코에트 모듈의 스펙트럼 분해를 반영한다.