[논문 리뷰] Entanglement area law and Lieb-Schultz-Mattis theorem in long-range interacting systems, and symmetry-enforced long-range entanglement

R. Liu, Jinmin Yi외 2명|arXiv (Cornell University)|2024. 05. 23.

Complex Systems and Time Series AnalysisEconomics, Econometrics and Finance인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 장거리 상호작용을 갖는 양자 스핀 체인에 대한 일반화된 리브-슐츠-매티스 정리들을 수립하며, 상호작용이 빠르게 감쇠하는 경우($1/r^{\frak{a}}$, $\frak{a}>2$)이면서 비정상적인 대칭성을 갖는 시스템은 유일한 고립된 대칭성 지닌 기본 상태를 가질 수 없음을 증명한다. 또한 이러한 시스템에서의 순수한 대칭 상태는 모두 장거리 얽힘을 가져야 하며, 이는 LSM 제약 조건을 기본 상태를 초월하여 더 넓은 대칭군 클래스, 즉 연속 대칭 및 비현위 내부 대칭에까지 확장함을 의미한다.

ABSTRACT

We establish multiple interrelated, fundamental results in quantum many-body systems that can have long-range interactions. For a sufficiently long quantum spin chain, we first show that if the multi-spin interactions in the Hamiltonian decay fast enough as their ranges increase and the Hamiltonian is gapped, then the ground states satisfy the entanglement area law, even if there is a ground state degeneracy due to a spontaneously broken discrete symmetry. This area law also holds for certain excited states. Second, if such a long-range interacting Hamiltonian has an anomalous symmetry, then the Lieb-Schultz-Mattis theorem applies, i.e., the Hamiltonian cannot have a unique gapped symmetric ground state. If the Hamiltonian contains only 2-spin interactions, these results hold when the interactions decay faster than $1/r^2$, with $r$ the distance between the two interacting spins. Third, we show that pure states with an anomalous symmetry, which may not be a ground state of any natural Hamiltonian, must be long-range entangled. The symmetries we consider include on-site internal symmetries combined with lattice translation symmetries, and they can also extend to purely internal but non-on-site symmetries. Moreover, these internal symmetries can be discrete or continuous. We explore the applications of these results through various examples.

연구 동기 및 목표

• 장거리 상호작용을 갖는 양자 스핀 체인, 특히 $1/r^{\frak{a}}$로 감쇠하는 경우($\frak{a}>2$)에 대해 리브-슐츠-매티스 정리를 일반화하는 것.
• 현위 내부 대칭과 격자 이동 대칭의 조합 또는 순수하게 비현위 내부 대칭을 갖는 비정상적인 대칭을 지닌 시스템이 유일한 고립된 대칭 기본 상태를 지닐 수 없음을 입증하는 것.
• 정리들을 기본 상태를 초월하여 모든 순수한 대칭 상태로 일반화하여, 그것들이 반드시 장거리 얽힘을 가져야 함을 보이는 것.
• 장거리 상호작용과 더 넓은 대칭 구조(연속 대칭 및 이산 대칭 포함)를 통합함으로써 이전의 LSM 유형 제약 조건을 통합하고 확장하는 것.
• 장거리 이소핀 및 이석자기 스핀 모델과 같은 실제 모델에 적용 가능한 프레임워크를 제공하여 위상 분류 및 위상적 순서에 대한 영향을 제시하는 것.

제안 방법

• 무한체계에 대해 연산자 대수 구조를 사용하여 국소성과 대칭 작용을 정의함으로써 장거리 상호작용에 대한 엄밀한 다루기 가능성을 확보하는 것.
• 군 코hom로지 $H^3(G;U(1))$에서 유도된 이상 지수를 사용하여 비정상적인 대칭을 분류하고 특성화함. 특히 $G = O(2) \times \bbZ$ 또는 $\bbZ_2$의 맥락에서 적용.
• 상호작용 감쇠에 대한 적합 조건을 유도함으로써 유일한 고립된 대칭 기본 상태가 존재하지 않는 충분 조건을 도출함. 특히 2체 상호작용의 경우 $\frak{a}>2$가 필요함.
• 열역학적 극한을 취하여 유한체계에 이 formalism을 적용함으로써 실제 시스템에 대해 물리적으로 의미 있는 결과를 확보하는 것.
• 장거리 $O(2)\times\bbZ$ 대칭 모델과 $J_{ij} \to |i-j|^{-\frak{a}}$, $\frak{a}>2$인 비현위 $\bbZ_2$ 대칭 해밀토니안을 포함한 구체적 모델을 구성하여 정리의 타당성을 입증하는 것.
• 대칭 이상성과 얽힘 구조를 이용하여, 어떤 기저 상태인지 여부에 관계없이 모든 대칭 순수 상태가 반드시 장거리 얽힘을 가져야 함을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리브-슐츠-매티스 유형 정리들을 $1/r^{\frak{a}}$로 감쇠하는 장거리 상호작용을 갖는 양자 스핀 체인으로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 상호작용 감쇠 조건과 대칭 구조 조건이 무엇이어야 유일한 고립된 대칭 기본 상태가 불가능해지는가?
• RQ3 LSM 제약 조건은 기저 상태 외의 모든 순수한 대칭 상태로 확장되는가? 그리고 그것들은 장거리 얽힘을 강제로 유도하는가?
• RQ4 비현위 내부 대칭 또는 연속 대칭(예: $O(2)$)을 갖는 시스템에도 이 정리들이 적용 가능한가?
• RQ5 결과들이 상호작용 지수를 조절 가능한 장거리 모델, 예를 들어 이석자기 또는 라이드버그 원자 체인에 어떻게 적용되는가?

주요 결과

• 2체 장거리 상호작용이 $1/r^{\frak{a}}$로 감쇠하는 경우, $\frak{a}>2$일 때 LSM 정리는 성립하며, 비정상적인 대칭을 지닌 시스템에서는 유일한 고립된 대칭 기본 상태가 존재하지 않음.
• 이러한 시스템에서의 어떤 순수한 대칭 상태이든(기저 상태이든 여부에 관계없이) 반드시 장거리 얽힘을 가져야 하며, 이는 대칭 이상성과 상호작용 감쇠의 직접적 결과임.
• 이 정리는 현위 내부 대칭과 격자 이동 대칭의 조합, 순수한 내부 비현위 대칭, 이산 및 연속 군을 포함한 광범위한 대칭군 클래스에 적용 가능함.
• $O(2)\times\bbZ$ 대칭과 장거리 $1/r^{\frak{a}}$ 상호작용($\frak{a}>2$)을 갖는 모델은 유일한 고립된 대칭 기본 상태를 지닐 수 없으며, 기존의 위상도에서 나타나는 것처럼 항상 비가역 또는 대칭이 깨진 상만 존재함.
• 장거리 $\bbZ_2$ 대칭 해밀토니안 $J_{ij} \to |i-j|^{-\frak{a}}$, $\frak{a}>2$는 비가역이거나 자동으로 $\bbZ_2$ 대칭을 깨뜨리며, 이는 정리와 일치함.
• 상호작용 감쇠율과 대칭 이상성 조건이 유지되는 한, 이동 대칭의 명시적 위반에 대해서도 결과가 강건함을 보이며, 이상성과 감쇠율이 중심적인 역할을 함을 입증함.