[논문 리뷰] Entanglement-assisted quantum error-correcting codes from units

Ted Hurley, Donny Hurley외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 28.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유한체 위의 바르데모네( Vandermonde) 행렬과 푸리에(Fourier) 행렬을 사용하여 최대거리분리(MDS) 성질을 가진 엔트레일먼트 보조 양자 오류정정 코드(EAQECC)를 구성하는 구축 방법을 제시한다. n×n 푸리에 행렬에서 r개의 연속 또는 등차수열로 된 행을 선택하고 Construction 1.1을 적용함으로써, d = n−r+1 및 c = n−r를 만족하는 형태의 [[n,r,d;c]] MDS EAQECC를 얻을 수 있으며, 이는 고속도, 고거리 코드를 가능하게 하며, n+1이 소수일 경우 소수 차수 체에서 효율적인 모듈로 산술을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Entanglement-assisted quantum error-correcting codes (EAQECCs) to desired rate, error-correcting capability and maximum shared entanglement are constructed. Thus for a required rate $R$, required error-correcting capability to correct $t$ errors, mds (maximum distance separable) EAQECCs of the form $[[n,r,d;c]]$ with $R=\frac{r}{n}, d\geq (2t+1), c = (n-r), d= (n-r+1)$ are constructed. Series of such codes may be constructed where the rate and the relative distance approach non-zero constants as $n$ approaches infinity. The codes may also be constructed over prime order fields in which modular arithmetic may be employed.

연구 동기 및 목표

• 원하는 속도, 오류정정 능력 및 최대 공유 엔트레일먼트를 가진 엔트레일먼트 보조 양자 오류정정 코드(EAQECC)를 구성하기 위해.
• d = n−r+1 및 c = n−r를 만족하는 형태의 [[n,r,d;c]] MDS EAQECC를 체계적으로 생성하기 위한 방법을 개발하기 위해.
• p = n+1이 소수일 때 GF(p) 체 위에서 코드를 구성하여 모듈로 산술을 통해 효율적인 구현을 가능하게 하기 위해.
• 기존 결과를 통해 촉매 작용하는 양자 코드를 도출할 수 있도록, 이러한 코드가 양의 네트워크 속도(net rate)를 달성함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 유한체 위의 n×n 푸리에 행렬의 구조를 활용하여 r개의 연속 또는 등차수열로 된 행에서 선형 코드를 생성하기 위해.
• 기본 항등식 F_n F_n^* = nI_n을 이용하여 푸리에 행렬의 행공간과 열공간 간의 수직성 및 질량 성질을 유도하기 위해.
• Construction 1.1 적용: 두 고전적 코드 C와 D가 각각 검사행렬 H와 K를 가질 때, c = rank(HK^T)를 만족하는 EAQECC [[n,r1+r2−n+c, min{d1,d2};c]]를 구성하기 위해.
• 산술적 등차수열에서 n과 k의 최대공약수 gcd(n,k)=1를 만족하도록 코드를 선택하여 MDS 성질을 확보하고, d = n−r+1를 보장하기 위해.
• q가 소수 거듭제곱인 GF(q) 위에서 코드를 구성하고, 특히 p = n+1이 소수일 때 GF(p) 위에서 코드를 구성하여 모듈로 산술을 가능하게 하기 위해.
• 내적 관계 e_i f_j = nδ_ij를 통해 HK^T의 질량를 검증하여 c = n−r를 확보하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지정된 속도 R, 오류정정 능력 t 및 최대 공유 엔트레일먼트 c를 가진 MDS EAQECC를 체계적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 소수 차수 체 위에서 EAQECC를 어떻게 구성하여 효율적인 모듈로 산술 계산을 가능하게 할 수 있는가?
• RQ3 네트워크 속도 (r−c)/n이 양수임을 보장하는 코드 매개변수 조건은 무엇인가? 이는 촉매 작용하는 양자 코드의 가능성을 높인다.
• RQ4 연속된 행을 초월하여 푸리에 행렬의 등차수열 행에서의 일반화가 MDS 성질을 유지하는가?
• RQ5 특히 속도와 거리 측면에서 표준 양자 코드에 비해 엔트레일먼트가 성능 향상에 얼마나 기여하는가?

주요 결과

• GF(81) 위에서 순서 80의 푸리에 행렬을 사용하여 [[80,70,11;10]] MDS EAQECC를 구성하였으며, 속도는 7/8, 네트워크 속도는 6/8를 달성하였다.
• 89가 소수이고 3이 89 모듈로에서 원시근임을 고려하여 GF(89) 위에서 모듈로 산술을 사용하여 [[88,77,12;11]] MDS EAQECC를 구성하였다.
• GF(3^5) 위에서 [[11,4,5;1]] MDS EAQECC를 구성하여 낮은 엔트레일먼트를 가진 코드에서 d=5, 네트워크 속도 3/11를 달성하였다.
• 28+1=29가 소수이고 2가 29 모듈로에서 원시근임을 고려하여 GF(29) 위에서 [[28,16,13;12]] MDS EAQECC를 구성하였으며, 효율적인 모듈로 계산이 가능하였다.
• 구성 과정에서 d = n−r+1 및 c = n−r가 보장되어 EAQECC의 MDS 조건을 만족함을 확인하였다.
• 모든 구성된 코드는 양의 네트워크 속도를 가지며, 이는 기존 결과를 통해 촉매 작용하는 양자 코드의 도출이 가능함을 의미한다.