[논문 리뷰] Entanglement entropy of the large $N$ Wilson-Fisher conformal field theory

Seth Whitsitt, William Witczak‐Krempa외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 20.

Cosmology and Gravitation Theories인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 2+1차원에서 큰 N의 윌슨-피셔 보존장이론(CFT)에 대해 임의의 엔트랑글레멘테이션 기하구조에서 엔트랑글레멘테이션 엔트로피(EE)를 큰 N 복제 방법을 사용하여 계산한다. 이는 윌슨-피셔 CFT의 유니버설 부분이 대부분의 기하구조에서 N개의 자유 스칼라 장의 것과 일치하지만, 반무한 원통 기하구조에서는 EE가 N⁰(즉, N에 대해 일정)으로 스케일링되며, 이는 가우시안 고정점의 N선형 스케일링과 뚜렷하게 대비됨을 보여준다.

ABSTRACT

We compute the entanglement entropy of the Wilson-Fisher conformal field theory (CFT) in 2+1 dimensions with O($N$) symmetry in the limit of large $N$ for general entanglement geometries. We show that the leading large $N$ result can be obtained from the entanglement entropy of $N$ Gaussian scalar fields with their mass determined by the geometry. For a few geometries, the universal part of the entanglement entropy of the Wilson-Fisher CFT equals that of a CFT of $N$ massless scalar fields. However, in most cases, these CFTs have a distinct universal entanglement entropy even at $N=\infty$. Notably, for a semi-infinite cylindrical region it scales as $N^0$, in stark contrast to the $N$-linear result of the Gaussian fixed point.

연구 동기 및 목표

• 2+1차원에서 큰 N의 O(N) 윌슨-피셔 CFT의 유니버설 엔트랑글레멘테이션 엔트로피(γ)를 임의의 엔트랑글레멘테이션 기하구조에 대해 계산하기.
• 큰 N 근사에서 강한 상호작용을 갖는 윌슨-피셔 CFT의 엔트랑글레멘테이션 엔트로피를 공간에 따라 변하는 질량을 갖는 N개의 자유 스칼라 장과의 관계로 매핑하기.
• 비틀린 기하구조, 특히 원통 기하에서 윌슨-피셔 CFT와 가우시안 고정점 간의 EE 스케일링 불일치를 해결하기.
• 큰-N 복제 방법의 적용 범위를 원형 디스크 기하구조를 넘어서 부드러운 영역, 모서리, 원통, 토러스까지 확장하기.

제안 방법

• 복제 방법을 사용해 레니 엔트로피를 계산하고, n→1로의解析적 계속을 통해 엔트랑글레멘테이션 엔트로피를 도출한다.
• 큰-N 사다리 근사법을 사용해 O(N) 윌슨-피셔 CFT를 공간에 따라 변하는 질량을 갖는 가우시안 이론으로 매핑한다.
• n→1 극한에서 질량의 공간적 의존성이 엔트랑글레멘테이션 엔트로피에 영향을 주지 않음을 보여주어 계산을 단순화한다.
• 무한 평면에서의 부드러운 영역과 모서리에 대해 EE를 계산하고, 그 결과가 N개의 자유 스칼라 장과 일치함을 확인한다.
• 무한 원통과 토러스에서 EE를 분석하고, 제타 정규화와 갭 방정식을 사용해 곡면에서의 질량 갭을 결정한다.
• 토러스에서 갭 방정식의 수치적 역행렬을 통해 질량 매개변수 m₁을 모듈라 매개변수 τ와 토글 각도 φx, φy의 함수로 결정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 큰-N 윌슨-피셔 CFT의 유니버설 엔트랑글레멘테이션 엔트로피가 모든 엔트랑글레멘테이션 기하구조에서 N개의 자유 스칼라 장과 일치하는가?
• RQ2 반무한 원통 기하에서 엔트랑글레멘테이션 엔트로피는 N에 대해 어떻게 스케일링되며, 가우시안 고정점과 어떻게 다를까?
• RQ3 큰-N 복제 방법을 원형 디스크를 초월해 임의의 부드러운 영역과 모서리가 있는 영역로 일반화할 수 있는가?
• RQ4 n-겹 기하에서 공간에 따라 변하는 질량의 역할은 무엇이며, 왜 n→1 극한에서 이는 분리되는가?
• RQ5 토러스에서 윌슨-피셔 CFT와 자유 스칼라 이론 간의 유니버설 EE 값은 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 평면에서의 부드러운 엔트랑글레멘테이션 영역과 모서리에서는 윌슨-피셔 CFT의 유니버설 엔트랑글레멘테이션 엔트로피가 N개의 자유 스칼라 장과 동일한 γ를 갖는다.
• 반무한 원통 기하에서, 유니버설 EE는 N⁰로 스케일링되며, 이는 가우시안 고정점의 N선형 스케일링과 뚜렷하게 대비된다.
• 토러스에서는 자유 이론과 윌슨-피셔 CFT 모두 γ/N이 0이 아니지만, 그 값은 서로 다름을 보여주어 유니버설 부분에 비틀린 차이가 있음을 시사한다.
• n-겹 기하에서 공간에 따라 변하는 질량은 n→1 극한에서 EE에 기여하지 않으며, 이는 일정한 질량을 갖는 자유 이론으로의 매핑을 가능하게 한다.
• 디스크 기하에서는 기존의 알려진 결과로 줄어들며, γ_disk = N × γ_disk_free + O(N⁰)로 표현되며, 그로스-네비우 모델의 자유 페르미온 결과와 일致한다.
• 토러스에서 질량 갭은 제타 정규화된 그린 함수와 자비 타우 함수를 사용해 수치적으로 갭 방정식을 풀어 결정된다.