[논문 리뷰] Enumerating Markov Equivalence Classes of Acyclic Digraph Models

Steven B. Gillispie, Perlman, Michael D.|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 10.

Bayesian Modeling and Causal Inference참고 문헌 31인용 수 73

한 줄 요약

이 논문은 펄과 버마의 등가 기준을 사용하여 비순환 그래프(DAG)의 마르코프 등가 클래스를 계산적으로 수량화한다. 순서 있는 최적화 알고리즘을 활용해 무방향 그래프를 생성하고, DAG를 등가 클래스로 분류한다. 주요 발견은 등가 클래스 수와 DAG 수의 비율이 점점 약 0.267에 수렴하며, 클래스 크기와 간선 분포는 각각 정규분포와 비정규 패턴을 보인다는 것이다.

ABSTRACT

Graphical Markov models determined by acyclic digraphs (ADGs), also called directed acyclic graphs (DAGs), are widely studied in statistics, computer science (as Bayesian networks), operations research (as influence diagrams), and many related fields. Because different ADGs may determine the same Markov equivalence class, it long has been of interest to determine the efficiency gained in model specification and search by working directly with Markov equivalence classes of ADGs rather than with ADGs themselves. A computer program was written to enumerate the equivalence classes of ADG models as specified by Pearl & Verma's equivalence criterion. The program counted equivalence classes for models up to and including 10 vertices. The ratio of number of classes to ADGs appears to approach an asymptote of about 0.267. Classes were analyzed according to number of edges and class size. By edges, the distribution of number of classes approaches a Gaussian shape. By class size, classes of size 1 are most common, with the proportions for larger sizes initially decreasing but then following a more irregular pattern. The maximum number of classes generated by any undirected graph was found to increase approximately factorially. The program also includes a new variation of orderly algorithm for generating undirected graphs.

연구 동기 및 목표

• 비순환 모델의 마르코프 등가 클래스를 체계적으로 수량화하여 모델 사양화와 탐색 효율성을 향상시키기 위해.
• 10개 이하 정점까지의 DAG에 대해 간선 수와 클래스 크기 기반의 등가 클래스 분포를 분석하기 위해.
• 무방향 그래프 생성을 기반으로 한 등가 클래스 수량화를 위한 새로운 순서 있는 알고리즘 변형을 개발하고 적용하기 위해.
• 단일 무방향 그래프에서 생성할 수 있는 최대 등가 클래스 수를 규명하고, 그래프 크기에 따라 어떻게 증가하는지 관찰하기 위해.

제안 방법

• 펄과 버마의 마르코프 등가 기준을 기반으로 한 컴퓨터 프로그램을 구현하여 DAG를 등가 클래스로 분류하기 위해.
• 무방향 그래프 생성을 위한 순서 있는 알고리즘을 변형하고, 효율적인 등가 클래스 수량화를 지원하는 새로운 변형을 적용하기 위해.
• 10개 이하 정점까지의 모든 DAG를 수량화한 후, 등가 기준을 사용해 마르코프 등가 클래스로 그룹화하기 위해.
• 등가 클래스의 간선 수와 클래스 크기 기반 통계 분석을 수행하여 분포 패턴과 점 渐차수렴 행동을 분석하기 위해.
• 단일 무방향 그래프에서 생성할 수 있는 최대 등가 클래스 수를 계산하여, 약간의 팩토리얼 증가 경향을 규명하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정점 수가 증가함에 따라 마르코프 등가 클래스 수와 DAG 수의 점 渐차수렴 비율은 얼마인가요?
• RQ2 DAG의 간선 수에 따라 등가 클래스는 어떻게 분포하는가요?
• RQ3 클래스 크기의 빈도 분포는 어떻게 되며, 예측 가능한 패턴을 따르는가요?
• RQ4 단일 무방향 그래프에서 생성할 수 있는 최대 등가 클래스 수는 얼마이며, 그래프 크기에 따라 어떻게 변화하는가요?
• RQ5 새로운 순서 있는 알고리즘 변형의 성능 및 구조는 기존 방법과 비교해 등가 클래스 생성에 있어 어떻게 다른가요?

주요 결과

• 정점 수가 증가함에 따라 마르코프 등가 클래스 수와 DAG 수의 비율은 점점 약 0.267에 수렴한다.
• 등가 클래스의 간선 수 기반 분포는 정규분포(정규분포) 형태에 수렴하여, 클래스 간의 간선 수에 중심 경향성이 있음을 나타낸다.
• 크기가 1인 클래스가 가장 빈도가 높으며, 더 큰 클래스 크기의 비율은 처음에는 감소하다가 더 이상 예측 불가능한 패턴을 따르게 된다.
• 어느 한 무방향 그래프에서 생성할 수 있는 최대 등가 클래스 수는 정점 수에 따라 약 팩토리얼 증가 경향을 보인다.
• 새로운 순서 있는 알고리즘 변형은 등가 클래스 수량화를 성공적으로 지원하며, 10개 이하 정점까지의 확장 가능한 계산을 가능하게 한다.