[논문 리뷰] Counting Markov Equivalence Classes by Number of Immoralities

Adityanarayanan Radhakrishnan, Liam Solus외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 22.

Bayesian Modeling and Causal Inference참고 문헌 40인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 주어진 스케letal G에서 Markov 등가 클래스(MEC)의 수를 고려한 두 개의 생성함수 M(G;x)와 S(G;x)를 제안한다. M(G;x)는 MEC의 불완전성 수로, S(G;x)는 MEC의 크기로 MEC를 세는 데 사용된다. 이는 주어진 스켈레톤 G에서 MEC의 조합론적 구조를 연구하기 위한 것이다. 논문은 불완전성 수의 최댓값을 계산하는 것이 NP-난이도임을 증명하고, S(G;x)가 최대 10개의 정점을 가진 연결 그래프를 유일하게 식별함을 보이며, 고전적인 조합 최적화 문제와의 새로운 연결 고리를 제시한다.

ABSTRACT

Two directed acyclic graphs (DAGs) are called Markov equivalent if and only if they have the same underlying undirected graph (i.e. skeleton) and the same set of immoralities. Using observational data, a DAG model can only be determined up to Markov equivalence, and so it is desirable to understand the size and number of Markov equivalence classes (MECs) combinatorially. In this paper, we address this enumerative question using a pair of generating functions that encode the number and size of MECs on a skeleton $G$, and in doing so we connect this problem to classical problems in combinatorial optimization. The first is a graph polynomial that counts the number of MECs on $G$ by their number of immoralities. Using connections to the independent set problem, we show that computing a DAG on $G$ with the maximum possible number of immoralities is NP-hard. The second generating function counts the MECs on $G$ according to their size. Via computer enumeration, we show that this generating function is distinct for every connected graph on $p$ nodes for all $p\leq 10$.

연구 동기 및 목표

• 주어진 스켈레톤 G에서 Markov 등가 클래스(MEC)의 조합론적 구조를 이해하기 위해.
• MEC의 불완전성 수와 크기로 나누어 세는 데 있어 복잡도를 다루기 위해.
• MEC 세기와 고전적인 조합 최적화 문제(예: 독립 집합 및 정점 커버 문제) 간의 연결 고리를 설정하기 위해.
• MEC 크기의 빈도 벡터(또는 산술 생성함수 S(G;x))가 스켈레톤을 유일하게 식별하는지 확인하기 위해.
• 최대 10개의 정점을 가진 모든 연결 그래프에 대해 MEC 통계를 효율적으로 계산하는 알고리즘을 개발하기 위해.

제안 방법

• 그래프 다항식 M(G;x) = Σₖ mₖ(G)xᵏ을 정의한다. 여기서 mₖ(G)는 G에서 정확히 k개의 불완전성을 가진 MEC의 수이다.
• 산술 생성함수 S(G;x) = Σₖ (sₖ(G)/kˣ)를 도입한다. 여기서 sₖ(G)는 G에서 크기가 k인 MEC의 수이다.
• p ≤ 10개의 정점을 가진 모든 연결 그래프에 대해 M(G;x)와 S(G;x)를 계산하여 평가한다.
• 정점의 동형성과 표준 레이블링을 정확히 처리하기 위해 nauty와 Traces 소프트웨어를 활용한다.
• 각 스켈레톤당 MEC 수, 불완전성 수, 유도된 3경로 수, 차수 순서, 삼각형 수를 추적하는 메모리 효율적인 알고리즘을 자바로 구현한다.
• M(G;x)의 차수를 계산하는 것이 NP-난이도임을 증명하기 위해, 삼각형이 없는 그래프와 그 별 분해에 대한 정점 커버 문제와 연관시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스켈레톤 G에서 불완전성 수를 추적하는 생성함수를 사용해 MEC의 수를 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 MEC 크기를 인코딩하는 생성함수 S(G;x)는 p ≤ 10개의 정점을 가진 각 연결 그래프 G에 대해 고유한가?
• RQ3 스켈레톤 G에 배치할 수 있는 최대 불완전성 수를 결정하는 데 있어 계산 복잡도는 무엇인가?
• RQ4 생성함수 M(G;x)와 S(G;x)는 독립 집합 및 정점 커버 문제와 같은 고전적인 조합 문제와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 비동형의 스켈레톤이 동일한 MEC 빈도 벡터 S(G;x)를 가지는 경우가 있으며, 이러한 충돌이 발생하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 불완전성 수로 MEC를 세는 생성함수 M(G;x)는 삼각형이 없는 그래프에서 정점 커버 문제로 감소하므로 계산이 NP-난이도임을 입증하였다.
• MEC 크기를 인코딩하는 생성함수 S(G;x)는 p ≤ 10개의 정점을 가진 모든 연결 그래프에 대해 유일하게 식별되며, 이는 MEC 크기 분포가 이러한 스켈레톤을 고유하게 식별함을 시사한다.
• 최대 10개의 정점을 가진 모든 그래프에서 S(G;x)의 유일한 충돌은 두 그래프가 동형인 연결 성분을 가지며, 이들의 비중복 성분 크기의 곱이 동일할 경우에만 발생한다.
• 저자들이 개발한 알고리즘은 Gillespie와 Perlman(2001)의 방법과 비슷한 시간 복잡도로 MEC 통계를 계산하지만, 각 스켈레톤당 관련 해시 데이터만 저장함으로써 메모리 효율성이 크게 향상되었다.
• 알고리즘은 각 스켈레톤당 MEC의 불완전성 수, 차수 순서, 간선 수, 삼각형 수, 유도된 3경로 수 등 더 풍부한 데이터를 수집한다.
• p ≤ 10개의 정점을 가진 비동형 연결 스켈레톤 간에 동일한 S(G;x) 함수를 공유하는 경우는 없으며, 이는 이 범위 내에서 MEC 크기 분포가 연결 그래프에 대한 완전한 불변량임을 지지하는 증거이다.