[논문 리뷰] Envy-free Relaxations for Goods, Chores, and Mixed Items

Kristóf Bérczi, Erika R. Bérczi‐Kovács외 6명|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 08.

Game Theory and Voting Systems참고 문헌 32인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 비분할 물건에 대해 비단조화성 및 비가산 유용도 함수(물건, 봉사, 혼합 물건 포함)를 갖는 경우의 환경을 고려하여, 선호도의 공정성 기준인 EF1 및 EFX의 일반화된 형태를 제안하고 연구한다. 두 명의 에이전트에 대한 EF1 할당에 대해 다항식 시간 알고리즘을 제시하며, 봉사에 대해 단조성 및 동일한 유용도 함수가 성립할 경우 EFX 할당의 존재성을 증명한다. 그러나 비단조화성, 동일한, 비가산 유용도 함수의 경우 EFX 할당이 존재하지 않을 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

In fair division problems, we are given a set $S$ of $m$ items and a set $N$ of $n$ agents with individual preferences, and the goal is to find an allocation of items among agents so that each agent finds the allocation fair. There are several established fairness concepts and envy-freeness is one of the most extensively studied ones. However envy-free allocations do not always exist when items are indivisible and this has motivated relaxations of envy-freeness: envy-freeness up to one item (EF1) and envy-freeness up to any item (EFX) are two well-studied relaxations. We consider the problem of finding EF1 and EFX allocations for utility functions that are not necessarily monotone, and propose four possible extensions of different strength to this setting. In particular, we present a polynomial-time algorithm for finding an EF1 allocation for two agents with arbitrary utility functions. An example is given showing that EFX allocations need not exist for two agents with non-monotone, non-additive, identical utility functions. However, when all agents have monotone (not necessarily additive) identical utility functions, we prove that an EFX allocation of chores always exists. As a step toward understanding the general case, we discuss two subclasses of utility functions: Boolean utilities that are $\{0,+1\}$-valued functions, and negative Boolean utilities that are $\{0,-1\}$-valued functions. For the latter, we give a polynomial time algorithm that finds an EFX allocation when the utility functions are identical.

연구 동기 및 목표

• 비단조화성 및 비가산 유용도 함수를 갖는 설정으로 EF1 및 EFX 공정성 개념을 확장하는 것.
• 물건, 봉사, 혼합 물건의 맥락에서 EF1 및 EFX 할당의 존재성과 알고리즘적 구성 방법을 조사하는 것.
• 특히 음수 부울 유용도의 경우를 포함하여 동일한, 단조성 또는 비단조화성 유용도 함수에 대해 EFX 할당이 존재하는지 판단하는 것.
• 부울 및 음수 부울 유용도 함수와 같은 특정 유용도 함수 클래스에 대해 효율적인 알고리즘을 개발하는 것.
• 다양한 유용도 제약 조건 하에서 EF1 및 EFX 할당의 존재성과 관련된 열린 문제를 규명하는 것.

제안 방법

• 비단조화성 및 비가산 유용도 함수에 대해 EF1 및 EFX의 네 가지 확장 형태를 제안하며, 새로운 공정성 이완 조건인 EFX⁺₀ 및 EFX⁰₋를 정의한다.
• 잠재 함수의 논리를 사용하여 임의의 유용도 함수를 갖는 두 에이전트에 대한 EF1 할당에 대해 다항식 시간 알고리즘을 설계한다.
• 각 이동 단계에서 엄격히 증가하는 잠재 함수 φ(π)를 도입하여 다항식 시간 내에 종료됨을 보장한다.
• 유용도가 낮은 에이전트의 물건을 유용도가 높은 에이전트로 이동시키는 국소 탐색 기반 메커니즘을 적용하여 공정성을 유지하거나 향상시킨다.
• 유용도 변화를 기반으로 한 탐욕적 선택을 통해 음수 부울 설정에서 EFX⁺₀ 공정성에 도달하는 데 진전을 이루도록 한다.
• 모순에 의한 증명과 케이스 분석을 통해 매 반복에서 φ(π)가 최소한 1 이상 증가함을 보여주며 수렴을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 (비단조화성, 비가산) 유용도 함수를 갖는 두 에이전트에 대해 항상 EF1 할당이 존재하는가?
• RQ2 비단조화성, 비가산, 동일한 유용도 함수에 대해 EFX 할당이 존재할 수 있는가?
• RQ3 봉사에 대해 단조성 및 동일한 유용도 함수가 성립할 경우 항상 EFX⁺₀ 할당이 존재하는가?
• RQ4 동일한 음수 부울 유용도 함수의 경우 EFX 할당에 대해 다항식 시간 알고리즘이 존재하는가?
• RQ5 비동일한, 단조성, 가산 유용도 함수에 대해 EFX⁰₋ 할당이 어떤 조건에서 존재하는가?

주요 결과

• 엄격히 증가하는 잠재 함수를 통한 증명을 통해, 임의의 유용도 함수를 갖는 두 에이전트에 대한 EF1 할당을 계산하는 다항식 시간 알고리즘이 존재한다.
• 모든 에이전트가 단조성 및 동일한 유용도 함수를 갖는 경우, 봉사에 대한 EFX⁺₀ 할당이 항상 존재한다.
• 국소 탐색 알고리즘을 사용하여 동일한 음수 부울 유용도 함수에 대해 EFX⁺₀ 할당을 다항식 시간 내에 계산할 수 있다.
• 비단조화성, 비가산, 동일한 유용도 함수를 갖는 두 에이전트에 대해 EFX 할당이 존재하지 않을 수 있음을 보여주는 예시를 구성하였다.
• 세 개의 물건과 두 명의 에이전트로 구성된 반례를 통해 음수 부울 유용도 함수에 대해 EFX⁰₋ 할당이 항상 존재하지 않음을 입증하였다.
• 비동일한, 단조성, 가산 유용도 함수에 대해 EFX 할당의 존재성 문제는 여전히 열려 있으며, 공정 분배 이론에서 핵심적인 미해결 문제로 남아 있다.