[논문 리뷰] Epidemic models with varying infectivity

Raphaël Forien, Guodong Pang외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 27.

COVID-19 epidemiological studies참고 문헌 25인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 개인별로 시간에 따라 변하는 전염성과 일반적인 감염 기간을 고려한 확률적 유행병 모델을 제안하며, 기댓값에 대한 함수법의 대수법칙(FLLN)을 증명하여 결정론적 볼테라 적분방정식계로 이어진다. 주요 기여는 평균 전파력 함수와 유행 초기의 증식률을 바탕으로 기본 전파수치 $R_0$를 엄밀하게 유도한 것으로, 코로나19에 대해 검증되었다.

ABSTRACT

We introduce an epidemic model with varying infectivity and general exposed and infectious periods, where the infectivity of each individual is a random function of the elapsed time since infection, those function being i.i.d. for the various individuals in the population. This approach models infection-age dependent infectivity, and extends the classical SIR and SEIR models. We focus on the infectivity process (total force of infection at each time), and prove a functional law of large number (FLLN). In the deterministic limit of this LLN, the infectivity process and the susceptible process are determined by a two-dimensional deterministic integral equation. From its solutions, we then derive the exposed, infectious and recovered processes, again using integral equations. For the early phase, we study the stochastic model directly by using an approximate (non--Markovian) branching process, and show that the epidemic grows at an exponential rate on the event of non-extinction, which matches the rate of growth derived from the deterministic linearized equations. We also use these equations to derive the basic reproduction number $R_0$ during the early stage of an epidemic, in terms of the average individual infectivity function and the exponential rate of growth of the epidemic.

연구 동기 및 목표

• 개인의 전파력이 감염 기간에 따라 변하는 현실적인 유행병 모델을 개발하여, 지수분포를 따르는 감염 기간을 넘어서는 것.
• 독립 동일분포의 랜덤 전파력 함수를 가진 비-마르코프 확률 모델에 대해 기댓값에 대한 함수법의 대수법칙(FLLN) 극한을 수립하는 것.
• 평균 전파력과 감염 가능 인구 비율을 기술하는 볼테라 유형의 적분방정식계로 이루어진 결정론적 시스템을 도출하는 것.
• 비-마르코프 분포수프로세스 근사법을 사용해 유행 초기 단계를 분석하는 것.
• 기본 전파수치 $R_0$를 평균 전파력 함수와 유행 초기의 지수 증식률에 따라 표현하는 것.

제안 방법

• 감염 후 경과 시간에 대한 개인의 전파력을 독립 동일분포의 랜덤 함수로 모델링하여, 증가 후 감소하거나 일정한 형태를 포함한 일반적인 형태를 허용하는 것.
• 새로운 감염의 도착과 감염 기간에 따라 달라지는 전파 역학을 기술하기 위해 포아송 랜덤 측도를 사용하는 것.
• 모멘트 유계와 마르팅글 타입의 추론을 통해 스케일링된 경험 과정의 유계성과 수렴성을 보여, FLLN을 증명하는 것.
• 극한 결정론적 시스템을 평균 전파력과 감염 가능 인구 비율에 대한 이차원 볼테라 적분방정식으로 도출하는 것.
• 수렴 증명에서 비-마르코프적 의존성을 다루기 위해 시간 변화와 부분적 적분 기법을 적용하는 것.
• 유행 초기 단계를 분석하고 지수 증식률을 도출하기 위해 분포수프로세스 근사법을 사용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 감염 기간에 따라 변하는 개인의 전파력이 유한 인구에서 전체 유행병 역학에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 일반적인 감염 및 잠복기 기간과 시간에 따라 변하는 전파력을 가진 비-마르코프 확률 모델의 결정론적 극한은 무엇인가?
• RQ3 전파력이 일정하지 않지만 감염 기간에 따라 달라질 경우 기본 전파수치 $R_0$는 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ4 감염 후 경과 시간에 따라 전파력이 변할 경우 유행 초기 단계에서의 유행의 지수 증식률은 무엇인가?
• RQ5 독립 동일분포의 전파력 함수를 가진 비-마르코프 모델에 대해 결정론적 극한을 엄밀하게 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 확률 모델의 FLLN 극한은 평균 전파력과 감염 가능 인구 비율의 진화를 기술하는 이차원 볼테라 적분방정식계이다.
• 유행 초기 단계의 확률 모델은 생존 사건에서 지수적으로 증식하며, 이 증식률은 결정론적 적분방정식을 선형화하여 도출된 증식률과 일치한다.
• 기본 전파수치 $R_0$는 지수 증식률에 의해 가중된 평균 전파력 함수의 적분으로 표현되며, 고전적인 $R_0$ 공식의 비-마르코프적 확장이다.
• 이 모델은 프랑스의 코로나19 관측 유행곡선을 성공적으로 묘사하며, 감염 기간과 전파력에 대한 유연한 가정 덕분에 기존의 마르코프 모델보다 뛰어난 성능을 보였다.
• 수렴 증명은 모멘트 유계와 보정된 포아송 랜덤 측도를 사용하여 마르팅글 기법에 의존하지 않고 비-마르코프 역학을 다루었다.
• 이 프레임워크는 SIS, SIRS 및 다중 지역 모델로 확장 가능하며, 동반 연구에서 기능 중심 중심극한정리가 이미 확립되어 있다.