[논문 리뷰] Equidistribution in Families of Abelian Varieties and Uniformity

Lars Kühne|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 25.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 60인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 아라켈로프 이론에서 유도된 등분포 기법과 디미트로프, 가오, 하베거의 최근 성과를 활용하여, 임베딩된 아벨 다양체의 임의의 고리수를 갖는 종수 $ g \geq 2 $ 곡선에 대해 균일한 경계를 설정한다. 이는 종수와 아벨 다양체의 모델-베일 랭크에 따라 균일한 형태로 토르션 점의 수를 유계화함으로써, 모델-베일 추측의 균일한 형태를 도출한다.

ABSTRACT

Using equidistribution techniques from Arakelov theory as well as recent results obtained by Dimitrov, Gao, and Habegger, we deduce uniform results on the Manin-Mumford and the Bogomolov conjecture. For each given integer $g \geq 2$, we prove that the number of torsion points lying on a smooth complex algebraic curve of genus $g$ embedded into its Jacobian is uniformly bounded. Complementing recent works of Dimitrov, Gao, and Habegger, we obtain a rather uniform version of the Mordell conjecture as well. In particular, the number of rational points on a smooth algebraic curve defined over a number field can be bounded solely in terms of its genus and the Mordell-Weil rank of its Jacobian.

연구 동기 및 목표

• 복소수 위의 매끄러운 대수적 곡선에서 종수 $ g \geq 2 $ 인 경우, 그 아벨 다양체에 임베딩된 토르션 점의 수에 대해 균일한 경계를 설정하는 것.
• 아벨 다양체의 가속도에 대한 아라켈로프 이론의 등분포 기법을 기초 스킴 $ S $ 위의 가속도에 일반화하는 것.
• 종수와 모델-베일 랭크에만 의존하는 균일한 형태의 모델-베일 추측을 도출하는 것.
• 가속도에서 비퇴화 조건을 만족하는 아벨 다양체의 부분다양체에 대해 상대적 등분포 추측(REC)을 증명하는 것.
• 이러한 결과를 적용하여, 곡선의 가속도에 대해 만인-멈포드 및 보고몰로프 추측의 균일성 결과를 도출하는 것.

제안 방법

• 부분다양체 $ X \subset A $ 에 대해 일반화된 네론-테이트 높이를 확장한, 정규화된 아라켈로프 높이의 극한인 $ \widehat{h}_{\iota}(X) = \limsup_{k \to \infty} \frac{h_{\overline{\mathcal{O}}(1)}(\overline{X}_k)}{n^{2k}} $ 를 도입한다.
• 베티 랭크 $ \mathrm{rank}_{\mathrm{Betti}}(X,x) $ 는 $ X $ 의 미분에 의한 베티 사상의 이미지의 실수 차원으로 정의되며, 비퇴화성 정의에 사용된다.
• 아벨 다양체의 가속도에서 비퇴화 부분다양체에 대해 작은 높이를 갖는 점들의 등분포를 적용하며, 각 자리 $ \nu \in \Sigma(K) $ 에서의 해석적 공간 $ X_{\mathbb{C}_\nu}^{\mathrm{an}} $ 을 사용한다.
• 상대적 등분포 추측(REC)을 핵심 가정으로 사용하며, 이는 $ \widehat{h}_{\iota}(x_i) \to \widehat{h}_{\iota}(X) $ 를 만족하는 $ X $-일반적인 수열이 자연스러운 측도 $ \mu_\nu $ 에 대해 등분포함을 의미한다.
• 보조 다양체 $ Z^{(m+1)m' - 1} $ 를 이용한 모순의 방법을 적용하여, 토르션 집합 $ \mathcal{S}_s $ 의 크기를 높이 및 등분포 추정에 기반해 유계화한다.
• 디미트로프, 가오, 하베거의 보고몰로프 및 만인-멈포드 설정에서의 균일성 결과를 활용하여, 균일한 모델-베일 추측에 도달한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 종수 $ g \geq 2 $ 인 곡선이 그 아벨 다양체에 임베딩된 경우, 곡선의 구체적 모형에 관계없이 모든 이러한 곡선에 대해 토르션 점의 수가 균일하게 유계화될 수 있는가?
• RQ2 기초 스킴 $ S $ 위의 아벨 다양체의 가속도에서 비퇴화 부분다양체에 대해 상대적 등분포 추측(REC)이 성립하는가? 특히 작은 높이를 갖는 점들이 등분포하는가?
• RQ3 모델-베일 추측을 종수와 아벨 다양체의 모델-베일 랭크에만 의존하는 균일한 경계로 강화할 수 있는가?
• RQ4 종수와 랭크 제약 조건만 주어졌을 때, 아벨 다양체의 가속도에서 토르션 점의 수에 대해 균일한 경계가 존재하는가?
• RQ5 아라켈로프 기하학에서의 등분포 기법을 효과적인 균일성 결과를 도출하는 데 사용할 수 있는가?

주요 결과

• 종수 $ g \geq 2 $ 인 복소수 위의 매끄러운 대수적 곡선이 그 아벨 다양체에 임베딩된 경우, 곡선에 관계없이 각 고정된 $ g $ 에 대해 토르션 점의 수가 균일하게 유계화된다.
• 종수와 아벨 다양체의 모델-베일 랭크에만 의존하는 균일한 형태의 모델-베일 추측이 확립되었다: 수체 위의 곡선에 대한 유리점의 수는 그 종수와 아벨 다양체의 모델-베일 랭크에 의해 결정된다.
• 각 $ g \geq 2 $ 에 대해 상수 $ c_{19} $ 가 존재하여, $ \#\mathcal{S}_s \leq c_{19} $ 를 만족한다. 여기서 $ \mathcal{S}_s $ 는 $ s \in S(\overline{\mathbb{Q}}) $ 에서의 섹션 위의 토르션 점 집합이다.
• 이 증명은 비퇴화 부분다양체에서 상대적 등분포 추측(REC)이 성립한다고 가정하는 데 의존한다.
• 높이 정규화와 보조 다양체 $ Z^{(m+1)m' - 1} $ 를 통한 모순의 방법을 사용하여, $ \mathcal{S}_s^{(m+1)m'} \subseteq Z^{(m+1)m' - 1}_s(\overline{\mathbb{Q}}) $ 를 도출함으로써 균일한 경계를 얻는다.
• 결과는 REC와 디미트로프, 가오, 하베거의 균일성 결과에 기반하지만, 이러한 가정 하에 완전한 균일한 경계를 제공한다.