[논문 리뷰] The Geometric Dynamical Northcott and Bogomolov Properties

Thomas Gauthier, Gabriel Vigny|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 17.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 40인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 특성 0인 함수체 위의 프로젝티브 정규 다양체 위의 극화된 엔도모르피즘에 대해 복소다이나믹스와 분기 전류를 이용하여 기하학적 동적 노스코프 성질을 확립한다. 캐논리컬 높이가 0임을 전기주기성으로 이끌고, 비등가의 기하학적 보고몰로프 추측의 동적 판본을 제안하며, 비등가의 다항 스케이프로덕트의 경우 검증한다.

ABSTRACT

We establish the dynamical Northcott property for polarized endomorphisms of a projective variety over a function field $\mathbf{K}$ of characteristic zero, and we relate this property to the notion of stability in complex dynamics. This extends previous results of Benedetto, Baker and DeMarco in dimension $1$, and of Chatzidakis-Hrushovski in higher dimension. Our proof uses complex dynamics arguments and does not rely on the previous ones. We first show that, when $\mathbf{K}$ is the field of rational functions of a normal complex projective variety, the canonical height of a subvariety is the mass of an appropriate bifurcation current and that a marked point is stable if and only if its canonical height is zero. We then establish the geometric dynamical Northcott property characterizing points of height zero in this setting, using a similarity argument. Moving from points to subvarieties, we propose, for polarized endomorphisms, a dynamical version of the geometric Bogomolov conjecture, recently proved by Cantat, Gao, Habegger, and Xie in the original setting of abelian varieties.

연구 동기 및 목표

• 특성 0인 함수체 위의 극화된 엔도모르피즘에 대해 기하학적 동적 노스코프 성질을 확립한다.
• 복소해석적 방법을 사용하여 캐논리컬 높이 0과 동적 안정성 간의 관계를 규명한다.
• 고차원에서의 기하학적 보고몰로프 추측에 대한 동적 판본을 제시하고 증명한다.
• 베이커, 벤데타도, 데마코, 채츠다카이스-하루쇼프스키의 이전 결과를 고차원 프로젝티브 다양체로 확장한다.
• 비판적 위치에서의 분기 전류의 비영성에 의해 대수적 가중 엔도모르피즘의 안정성 분석을 수행한다.

제안 방법

• 기저 다양체 $\mathcal{B}$ 위의 극화된 엔도모르피즘의 가중 가중치에 대해 복소다이나믹스를 이용하여 섬유화된 그린 전류 $\widehat{T}_{\mathcal{f}}$ 를 부여한다.
• 적절한 분기 전류의 질량이 $\widehat{T}_{\mathcal{f}}^{\dim X}$ 에 대해 통합함으로써 부분다양체의 캐논리컬 높이가 등장함을 보인다.
• 전류 $T_{\mathcal{f},\mathrm{Crit}(\mathcal{f})}$ 의 영성에 의해, 특정 점이 안정임은 캐논리컬 높이가 0임과 동치임을 증명한다.
• 전류의 영성에 기반하여 캐논리컬 높이 특성으로부터 기하학적 동적 노스코프 성질을 유도한다.
• 전류 $T_{\mathcal{f},\mathrm{Crit}(\mathcal{f})}$ 의 비영성에 의해, 디스보르스 가중치와 같은 가중치에서의 불안정성을 보여주며, 비트리거 위치가 비영임을 암시한다.
• 분기 전류 분석을 통해 비등가의 다항 스케이프로덕트의 경우 동적 보고몰로프 추측을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 함수체 위의 프로젝티브 다양체의 부분다양체가 극화된 엔도모르피즘에 대해 캐논리컬 높이가 0이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 대수적 엔도모르피즘 가중치에서 캐논리컬 높이 0과 동적 안정성 간의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 기하학적 보고몰로프 추측은 고차원 극화된 엔도모르피즘에 대해 동적 환경으로 확장될 수 있는가?
• RQ4 비판적 위치에 관련된 분기 전류가 언제 영이 되며, 이는 안정성에 어떤 의미를 갖는가?
• RQ5 복소다이나믹스 기법을 어떻게 사용하여 함수체 위의 산술다이나믹스에서 유한성 결과를 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 캐논리컬 높이는 적절한 분기 전류의 질량과 동일하며, 이는 산술과 복소다이나믹스를 연결한다.
• 특정 점이 안정임은 캐논리컬 높이가 0임과 동치이며, 이는 안정성의 산술적 특성화를 제공한다.
• 특성 0인 함수체 위의 극화된 엔도모르피즘에 대해 기하학적 동적 노스코프 성질이 성립하며, 이는 이전 결과를 일반화한다.
• 비등가의 다항 스케이프로덕트에서 동적 보고몰로프 추측이 증명되었으며, 첫 번째 좌표가 등가인 경우에 해당한다.
• 디스보르스 가중치는 전류 $T_{\mathcal{f},\mathrm{Crit}(\mathcal{f})}$ 가 영이 아니므로 J-안정이 아니며, 이는 비트리거 위치가 비영임을 암시한다.
• 전류 $T_{\mathcal{f},\mathrm{Crit}(\mathcal{f})}$ 가 영이 아니므로, 비판적 위치는 전기주기적이 아니며, 따라서 가중치는 불안정하다.