[논문 리뷰] Equilibration and Generalized GGE in the Lieb Liniger gas

Garry Goldstein, Natan Andrei|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 13.

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics참고 문헌 2인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 1차원 Lieb-Liniger 가스에서의 쿠엔치 동역학을 연구하기 위해 유한 크기의 Yudson 표현을 개발한다. 열역학적 한계에서 이동 대칭성을 가진 초기 상태는 일반화된 깁스 군집(GGE)으로 평형에 도달함을 보여준다. 강한 결합 영역에서는 밀도 및 밀도-밀도 상관 함수에 대한 명시적 해석적 표현을 역 결합의 거듭제곱 급수 형태로 유도하며, 초기 상태가 국소적 상관성을 가진 경우에 일반화된 GGE로의 평형에 도달함을 확인한다.

ABSTRACT

We study the nonequilibrium properties of the one dimensional Lieb Liniger model in the finite repulsion regime. Introducing a new version of the Yudson representation applicable to finite size systems and appropriately taking the infinite volume limit we are able to study equilibration of the Lieb Liniger gas in the thermodynamic limit. We provide a formalism to compute various correlation functions for highly non equilibrium initial states. We are able to find explicit analytic expressions for the long time limit of the expectation of the density, density density and related correlation functions. We show that the gas equilibriates to a diagonal ensemble which we show is equivalent to a generalized version of the GGE for sufficiently simple correlation functions, which in particular include density correlations.

연구 동기 및 목표

• 적분 가능 양자 체계, 예를 들어 Lieb-Liniger 모형과 같은 비평형 동역학과 평형화를 이해하기 위해.
• 열역학적 한계 계산에 적용 가능한 유한 크기의 Yudson 표현을 개발하기 위해.
• 매우 비평형 초기 상태에 대해 시간에 따라 변하는 상관 함수를 계산하기 위해.
• 장시간 평형 상태가 일반화된 깁스 군집(GGGE)인지, 아니면 표준 GGE인지 결정하기 위해.
• 초기 상태 상관관계가 늦은 시점의 효과적 통계 군집 형태에 미치는 역할을 명확히 하기 위해.

제안 방법

• 베테 앙사츠 상태에 대한 새로운 유한 크기 Yudson 표현을 도입하여 정확한 시간 진동 계산을 가능하게 한다.
• 계수 크기 L → ∞로의 열역학적 한계를 취하며 밀도 N/L = const 유지.
• 시간에 따라 변하는 관측량을 그린 함수와 초기 상관 함수를 사용하여 표현한다.
• 1/c에 대한 거듭제곱 급수 전개를 사용하여 강한 결합 영역에서 밀도 및 밀도-밀도 상관 함수의 기대값을 계산한다.
• 비국소적 보존량(적분 운동량의 곱 포함)을 포함한 대각형 군집으로서 일반화된 GGE(GGGE)를 유도한다.
• 초기 상태가 국소적 상관성을 가진 경우 대각형 군집과 GGGE가 동치임을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 초기 상태에 관계없이 Lieb-Liniger 가스는 양자 쿠엔치 이후 평형 상태로 수렴하는가?
• RQ2 장시간 평형 상태는 일반화된 깁스 군집(GGE)으로 묘사되며, 그렇지 않다면 어떤 개선이 필요한가?
• RQ3 초기 상태 상관관계는 늦은 시점의 효과적 통계 연산자 형태에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 강한 결합 영역(1차원 Tonks-Girardeau)에서 시간에 따라 변하는 상관 함수에 대한 해석적 표현을 유도할 수 있는가?
• RQ5 일반화된 GGE가 표준 GGE로 축소되는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 초기 상관 함수가 매끄럽다면, 초기 상태에 관계없이 장시간에 걸쳐 대각형 군집으로 평형에 도달한다.
• 초기 상태가 국소적 상관성을 가진 경우, 일반화된 GGE는 표준 GGE로 축소되며, 보존량의 곱이 단일 보존량 항으로 분해되기 때문이다.
• 강한 결합 영역에서는 밀도 및 밀도-밀도 상관 함수를 1/c의 거듭제곱 급수 형태로 계산하며, 명시적인 1차 보정 항이 유도되었다.
• 반선형에서의 모트 절연체 초기 상태에 대해 밀도는 탄성 운반을 보이며 신호 속도 ~1/√σ이다. 장시간 행동은 일정한 밀도와 지수적으로 감쇠하는 진동을 보인다.
• 큰 시간에 이르러 x → -∞ 에서 밀도는 1/l 일정한 값을 취하며, x ~ t 에서는 (1/2 + 4π/cl)/l 의 값을 도달하여 탄성 운반을 확인한다.
• 초기 상태가 장거리 상관성을 가진 경우 일반화된 GGE가 필요하며, 이는 비국소적 보존량(예: 적분 운동량의 곱 포함)을 포함하기 때문이다.