[논문 리뷰] Equivariant ($K$-)homology of affine Grassmannian and Toda lattice

Roman Bezrukavnikov, Michael Finkelberg외 1명|arXiv (Cornell University)|2003. 06. 29.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 20인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 복소수 재구성군 G에 대해 아핀 그라스만이의 등변 K-호몰로지와 호몰로지 환을 계산하며, 이들을 랑글랜드 이중군에 관련된 기하적 대상과 연결한다: 등변 호몰로지 환의 스펙트럼은 자연스러운 심플렉틱 구조를 지닌 보편 중심자 ${\mathfrak{Z}}^{\check{G}}_{\check{\mathfrak{g}}}$ 와 동형이며, 등변 K-이론 환의 스펙트럼은 ${\mathfrak{Z}}^{\check{G}}_{\check{G}}$ 의 변형과 동형이며 자연스러운 푸아송 구조를 지닌다. 이러한 결과들은 토다 계열을 통해 기하 표현론과 통합계 사이의 깊은 연결 고리를 확립한다.

ABSTRACT

For an almost simple complex algebraic group $G$ with affine Grassmannian $Gr_G= G(C((t)))/G(C[[t]])$ we consider the equivariant homology $H^{G(C[[t]])}(Gr_G)$, and $K$-theory $K^{G(C[[t]])}(Gr_G)$. They both have a commutative ring structure, with respect to convolution. We identify the spectrum of homology ring with the universal group-algebra centralizer of the Langlands dual group $\check G$, and we relate the spectrum of $K$-homology ring to the universal group-group centralizer of $G$ and of $\check G$. If we add the loop-rotation equivariance, we obtain a noncommutative deformation of the ($K$)-homology ring, and thus a Poisson structure on its spectrum. We identify this structure with the standard one on the universal centralizer. The commutative subring of $G(C[[t]])$-equivariant homology of the point gives rise to a polarization which is related to Kostant's Toda lattice integrable system. We also compute the equivariant $K$-ring of the affine Grassmannian Steinberg variety. The equivariant $K$-homology of $Gr_G$ is equipped with a canonical base formed by the classes of simple equivariant perverse coherent sheaves. Their convolution is again perverse and is related to the Feigin-Loktev fusion product of $G(C[[t]])$-modules.

연구 동기 및 목표

• G(\mathbf{O})의 작용 하에서 아핀 그라스만이 $\operatorname{Gr}_G$ 의 등변 K-이론과 호몰로지 환을 계산한다.
• 이 환들의 스펙트럼을 랑글랜드 이중군 $\check{G}$ 와 관련된 기하적 대상—특히 보편 중심자 ${\mathfrak{Z}}^{\check{G}}_{\check{\mathfrak{g}}}$ 와 ${\mathfrak{Z}}^{\check{G}}_{\check{G}}$—와 동형으로 식별한다.
• 이로 인해 유도된 환들이 해밀턴 및 q-해밀턴 감소로부터 기인하는 자연스러운 심플렉틱 및 푸아송 구조를 지닌다는 것을 확립한다.
• G(\mathbf{O})\ltimes\mathbb{G}_m-등변성에 의한 이 환들의 비가환 변형이 양자 해밀턴 감소와 토다 계열 시스템으로서 실현될 수 있다는 것을 연결한다.
• G(\mathbf{O})-등변 페르소르 코herent sheaf의 모노이드 범주가 그로텐디크 환은 교환 가능하지만 비대칭임을 보여준다.

제안 방법

• 저자들은 $G(\mathbf{F}) \times_{G(\mathbf{O})} \operatorname{Gr}_G \to \operatorname{Gr}_G$ 의 컨볼루션 다이어그램을 사용하여 등변 코herent sheaf와 그 K-이론 및 호몰로지에 대해 모노이드 구조를 정의한다.
• 他們는 $\operatorname{Spec}(H^{G(\mathbf{O})}_\bullet(\operatorname{Gr}_G))$ 를 $T^*\check{G}$ 의 해밀턴 감소로 얻어지는 심플렉틱 다양체인 보편 중심자 ${\mathfrak{Z}}^{\check{G}}_{\check{\mathfrak{g}}}$ 와 동형으로 식별한다.
• 他們는 $\operatorname{Spec}(K^{G(\mathbf{O})}(\operatorname{Gr}_G))$ 를 내부 융합 이중 $\mathbf{D}(\check{G})$ 의 q-해밀턴 감소로 유도되는 푸아송 다양체인 ${\mathfrak{Z}}^{\check{G}}_{\check{G}}$ 의 변형과 동형으로 식별한다.
• 他們는 루프 로테이션을 통한 $\mathbb{G}_m$-작용을 $\operatorname{Gr}_G$ 에 정의하고 $G(\mathbf{O})\ltimes\mathbb{G}_m$-등변 코herent sheaf 를 연구하여 호몰로지 및 K-이론 환의 비가환 변형을 정의한다.
• 他們는 $K^{{G(\mathbf{O})}\ltimes\mathbb{G}_m}(\operatorname{Gr}_G)$ 에서의 융합 곱에 대한 재귀 관계를 유도하며, 예를 들어 $q^{-l}{\mathbf{v}}(l+n)_1 \star {\mathbf{v}}(l)_1 = \sum q^{\text{coeff}} {\mathbf{v}}(\cdot)_m$ 와 같은 식을 통해 토다 계열과 연결한다.
• 他們는 $PGL_2$ 의 기하학을 활용하여 비가환성의 존재를 보이며, 비등형의 컨볼루션 $\mathcal{V}(0)_1 \star \mathcal{V}(-2)_1 \not\cong \mathcal{V}(-2)_1 \star \mathcal{V}(0)_1$ 을 통해 이를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 G(\mathbf{O})의 작용 하에서 아핀 그라스만이 $\operatorname{Gr}_G$ 의 등변 K-이론과 호몰로지 환의 구조는 무엇인가?
• RQ2 이 환들은 랑글랜드 이중군 $\check{G}$ 의 기하적 불변량, 예를 들어 보편 중심자와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 G(\mathbf{O})\ltimes\mathbb{G}_m-등변성에 의한 이 환들의 비가환 변형은 $\check{G}$ 상의 미분 연산자 환의 양자 해밀턴 감소로 실현될 수 있는가?
• RQ4 G(\mathbf{O})-등변 페르소르 코herent sheaf의 모노이드 범주는 그로텐디크 환이 교환 가능하지만 비대칭인 이유는 무엇인가?
• RQ5 $\operatorname{Gr}_{PGL_2}$ 에서의 $G(\mathbf{O})\ltimes\mathbb{G}_m$-모듈의 융합 곱은 $K^{{G(\mathbf{O})}\ltimes\mathbb{G}_m}(\operatorname{Gr}_G)$ 의 컨볼루션과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 등변 호몰로지 환 $H^{G(\mathbf{O})}_\bullet(\operatorname{Gr}_G)$ 의 스펙트럼은 보편 중심자 ${\mathfrak{Z}}^{\check{G}}_{\check{\mathfrak{g}}}$ 와 동형이며, 이는 코타angent bundle $T^*\check{G}$ 에서 기인하는 자연스러운 심플렉틱 구조를 지닌다.
• 등변 K-이론 환 $K^{G(\mathbf{O})}(\operatorname{Gr}_G)$ 의 스펙트럼은 ${\mathfrak{Z}}^{\check{G}}_{\check{G}}$ 의 변형과 동형이며, 내부 융합 이중 $\mathbf{D}(\check{G})$ 의 q-해밀턴 감소로부터 기인하는 자연스러운 푸아송 구조를 지닌다.
• K^{G(\mathbf{O})}(\operatorname{Gr}_G) 에 존재하는 푸아송 구조는 $\check{G}$ 가 단순 연결일 때에만 심플렉틱 구조를 지닌다. 즉, $G$ 가 인접형일 때이다.
• 환 $H^{G(\mathbf{O})}_\bullet(\operatorname{Gr}_G)$ 는 $\check{G}$ 가 인접형일 때 토다 위상공간의 좌표환과 동형이며, 이 공간은 고전적 토다 계열의 코스타언트 위상공간의 복소화이다.
• $G(\mathbf{O})\ltimes\mathbb{G}_m$-등변 코herent sheaf 의 융합 곱은 $q^{-l}{\mathbf{v}}(l+n)_1 \star {\mathbf{v}}(l)_1 = q^{-2l}{\mathbf{v}}(2l+n)_2 + \sum_{k\geq 2} q^{2k} {\mathbf{v}}(n-2k)_0$ 와 같은 재귀 관계를 만족하며, 마지막 항은 $n$ 의 기수성에 따라 달라진다.
• G(\mathbf{O})-등변 페르소르 코herent sheaf 의 모노이드 범주는 비대칭이다. $G=PGL_2$ 일 때, $\mathcal{V}(0)_1 \star \mathcal{V}(-2)_1 \not\cong \mathcal{V}(-2)_1 \star \mathcal{V}(0)_1$ 이며, 이는 범주 내의 비분할 정확수열에 의해 증명된다.