[논문 리뷰] Erdős-Szekeres theorem for multidimensional arrays

Matija Bucić, Benny Sudakov외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 29.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 26인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 다차원 Erdős-Szekeres 문제에 대해 상당히 향상된 상계를 확립하며, $ d \geq 4 $ 인 경우 $ d $차원 배열에서 단조증가하는 $ n \times \cdots \times n $ 부분배열을 보장하는 최소 크기 $ M_d(n) $ 가 $ n $ 에 대한 삼중 지수함수 이내임을 증명한다. 렉소그래피컬 단조증가 변형의 경우 네중 지수함수이다. 이 결과들은 Fishburn와 Graham이 반복적 적용을 통한 Erdős-Szekeres 정리와 Ramsey 이론적 추론을 사용하여 이전에 확립한 Ackermann 유형의 상계를 향상시킨다.

ABSTRACT

The classical Erdős-Szekeres theorem dating back almost a hundred years states that any sequence of $(n-1)^2+1$ distinct real numbers contains a monotone subsequence of length $n$. This theorem has been generalised to higher dimensions in a variety of ways but perhaps the most natural one was proposed by Fishburn and Graham more than 25 years ago. They defined the concept of a monotone and a lex-monotone array and asked how large an array one needs in order to be able to find a monotone or a lex-monotone subarray of size $n imes \ldots imes n$. Fishburn and Graham obtained Ackerman-type bounds in both cases. We significantly improve these results. Regardless of the dimension we obtain at most a triple exponential bound in $n$ in the monotone case and a quadruple exponential one in the lex-monotone case.

연구 동기 및 목표

• 다차원 Erdős-Szekeres 문제를 해결하기 위해, 단조증가하는 $ n \times \cdots \times n $ 부분배열을 보장하는 최소 배열 크기 $ M_d(n) $ 에 대해 더 날카로운 상계를 도출하는 것.
• Fishburn와 Graham이 정의한 단조증가 및 렉소그래피컬 단조증가 배열을 사용하여 고전적인 Erdős-Szekeres 정리를 고차원으로 확장하는 것.
• Fishburn와 Graham이 이전에 확립한 단조증가 및 렉소그래피컬 단조증가 배열 문제에 대한 Ackermann 유형의 상계를 향상시키는 것.
• 문제를 순서가 있는 Ramsey 이론 및 간선 색칠 프레임워크의 맥락에서 연결하여 이산 구조에서의 극한 조합론에 새로운 시각을 제공하는 것.

제안 방법

• 2차원 배열에서 행과 열 제약 조건에 의해 유도된 순열에 고전적인 Erdős-Szekeres 정리를 반복 적용하는 것.
• 크기 $ N^{1-o(1)} $ 의 $ (\log N)^{1-o(1)} $ 개의 순열에서 공통된 단조증가 부분순열을 찾는 문제로 2차원 단조증가 부분배열 문제를 환원하는 것.
• 3-균일 초그래프 간선 색칠에 의해 배열을 연결하여 행과 열 간의 단조성 제약 조건을 모델링하는 Ramsey 이론적 프레임워크를 사용하는 것.
• 행과 열의 단조성을 인코딩하기 위해 정점 순서가 부여된 초그래프 모델 $ K^{(3)}_{N,N} $ 을 도입하여 문제를 순서가 있는 Ramsey 수와 연결하는 것.
• 렉소그래피컬 단조증가 배열 문제와 이산 구조의 정규 순서, 특히 조합적 입방체 $[k]^n$ 의 정규 순서 간의 연결 고리를 설정하는 것.
• 순열 통계와 극한 조합론을 활용하여 큰 단조증가 또는 렉소그래피컬 단조증가 부분배열을 피하는 배열의 크기를 제한하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단조증가하는 $ n \times \cdots \times n $ 부분배열을 보장하는 $ d $차원 배열의 최소 크기 $ M_d(n) $ 에 대한 가장 날카로운 상계는 무엇인가요?
• RQ2 렉소그래피컬 단조증가 부분배열을 보장하는 최소 크기 $ L_d(n) $ 의 성장률은 $ M_d(n) $ 과 어떻게 비교될 수 있나요?
• RQ3 Fishburn와 Graham이 이전에 확보한 Ackermann 유형의 상계는 단조증가 및 렉소그래피컬 단조증가 경우 모두에서 상당히 향상시킬 수 있을까요?
• RQ4 다차원 Erdős-Szekeres 문제는 어느 정도까지 순서가 있는 Ramsey 이론의 맥락에서 재구성될 수 있나요?
• RQ5 공통된 길이 $ n $ 의 단조증가 부분순열을 보장하기 위해 필요한 순열의 수의 극한 상계는 무엇인가요?

주요 결과

• 2차원의 경우, 논문은 $ M_2(n) \leq 2^{2^{(2+o(1))n}} $ 를 확립하며, 이는 이전의 Ackermann 유형 상계보다 상당히 향상된 것이다.
• 3차원의 경우, 상계는 $ M_3(n) \leq 2^{2^{(2+o(1))n^2}} $ 로, 이중 지수함수의 제곱 지수를 보여준다.
• 4차원 이상의 경우, 상계는 $ M_d(n) \leq 2^{2^{2^{O_d(n^{d-1})}}} $ 로, $ n $ 에 대한 삼중 지수함수이며, 지수는 $ d $ 에 따라 달라진다.
• 렉소그래피컬 단조증가의 경우, 논문은 네중 지수함수 상계인 $ L_d(n) \leq 2^{2^{2^{2^{O_d(n^{d-1})}}}} $ 를 확보하여 이전 결과를 향상시켰다.
• 저자들은 $ M_2(n) \leq \text{OR}(n) $ 이며, 여기서 $ \text{OR}(n) $ 은 3-균일 초그래프에 대한 순서가 있는 Ramsey 수이며, $ \text{OR}(n) \leq 2^{2^{(2+o(1))n}} $ 임을 증명한다.
• 결과들은 다차원 Erdős-Szekeres 문제와 이산 구조의 정규 순서, 특히 간선 순서가 부여된 Ramsey 이론 간의 깊은 연결 고리를 시사한다.