[논문 리뷰] Error estimates of a discontinuous Galerkin method for time fractional diffusion problems with nonsmooth data

Binjie Li, Hao Luo외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 06.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 48인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 시간 분수형 확산 문제에 대해 초기 데이터가 비연속일 경우를 고려하여, 시간적으로는 조각상수 함수, 공간적으로는 연속된 조각선형 함수를 사용하는 불연속 갈레르킨 방법을 제안한다. 초기 조건이 0이거나 소스 항이 0인 경우 각각 $ O(h^2 + \tau) $ 및 $ O(h + \tau^{1/2}) $ 의 최적 수렴 속도를 $ L^2(0,T;L^2(\Omega)) $-노름에서 확립하며, 디랙 측도를 가진 초기 조건 또는 소스 항으로의 분석을 확장한다.

ABSTRACT

This paper analyzes a discontinuous Galerkin method for time fractional diffusion problems. The method uses piecewise constant functions in the temporal discretization and continuous piecewise linear functions in the spatial discretization. The weak solution and its regularity are firstly considered. Then in the $ L^2(0,T;L^2(\Omega)) $-norm the convergence orders $ O(h^2+ au) $ and $ O(h+ au^{1/2}) $ are respectively derived in the following two cases: the initial value $ u_0 $ vanishes and the source term $ f $ belongs to $ L^2(0,T;L^2(\Omega)) $; $ u_0 $ belongs to $ L^2(\Omega) $ and $ f $ vanishes. The case that a Dirac measure occurs in $ u_0 $ or $ f $ is also considered. Finally, numerical experiments are conducted to verify the theoretical results.

연구 동기 및 목표

• 비연속 초기 데이터 또는 소스 항을 가진 시간 분수형 확산 방정식에 대한 불연속 갈레르킨 방법의 수렴 행동을 분석하는 것.
• 초기 데이터 $ u_0 $ 와 소스 항 $ f $ 에 대한 다양한 정규성 조건 하에서 $ L^2(0,T;L^2(\Omega)) $-노름에서 오차 추정치를 확립하는 것.
• 물리적 및 공학적 응용에서 흔한 디랙 측도를 가진 초기 조건 또는 소스 항을 고려한 분석을 확장하는 것.

제안 방법

• 시간에는 조각상수 함수, 공간에는 연속된 조각선형 함수를 사용하여 시간 및 공간 이산화를 수행한다.
• 시간 분수도를 다루기 위해 약한 형태를 유도하여, 비연속 해에 대해 안정성과 일致성을 확보한다.
• 약한 해의 정규성 추정치를 활용하여 시간 및 공간 오차를 별도로 제한한다.
• 에너지 기법과 유한요소 공간의 근사 성질을 이용하여 오차 추정치를 유도한다.
• 두 가지 다른 경우에 대해 $ L^2(0,T;L^2(\Omega)) $-노름에서 수렴 속도를 확립한다: $ u_0 = 0 $, $ f \in L^2(0,T;L^2(\Omega)) $, 그리고 $ u_0 \in L^2(\Omega) $, $ f = 0 $.
• 해당 정규성과 오차 전파를 분석하여, 디랙 측도 데이터를 다룰 수 있도록 방법을 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초기 데이터 또는 소스 항이 비연속일 경우, 시간 분수형 확산 문제에 대해 불연속 갈레르킨 방법이 달성할 수 있는 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 초기 데이터 $ u_0 $ 와 소스 항 $ f $ 의 정규성에 따라 $ L^2(0,T;L^2(\Omega)) $-노름에서 수렴 차수는 어떻게 달라지는가?
• RQ3 초기 데이터 또는 소스 항에 디랙 측도가 포함되어 있을 경우, 방법이 최적 수렴 속도를 유지할 수 있는가?
• RQ4 저정규성 해를 가진 경우, 시간 및 공간 이산화 오차는 어떻게 상호작용하는가?

주요 결과

• 초기 조건이 0이면서 소스 항 $ f \in L^2(0,T;L^2(\Omega)) $ 인 경우, 방법은 $ L^2(0,T;L^2(\Omega)) $-노름에서 수렴 속도 $ O(h^2 + \tau) $ 를 달성한다.
• 소스 항이 0이고 $ u_0 \in L^2(\Omega) $ 인 경우, 동일한 노름에서 수렴 속도는 $ O(h + \tau^{1/2}) $ 이다.
• 이론적 분석을 통해 초기 조건 또는 소스 항에 디랙 측도가 포함되어 있을 경우에도 방법이 최적 수렴 행동을 유지함을 확인하였다.
• 수치 실험을 통해 이론적 수렴 속도가 검증되었으며, 이는 비연속 데이터 조건 하에서 방법의 강건성을 확인한다.