[논문 리뷰] Estimating diagonal entries of powers of sparse symmetric matrices is BQP-complete

Dominik Janzing, Paweł Wocjan|ArXiv.org|2006. 06. 27.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 19인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 희박 대칭 행렬의 거듭제곱의 대각성분을 추정하는 것이 BQP-완전함을 증명하며, 양자 계산 복잡도와 행렬 해석 사이의 직접적인 연결을 수립한다. 이 문제는 단계 추정과 측정을 사용하여 양자 컴퓨터에서 효율적으로 해결 가능하며, 양자 회로를 희박 행렬에 인코딩하여 수렴과 기각 결과를 구분하는 스펙트럼 모멘트를 포괄함으로써 BQP의 전반적인 능력을 반영한다.

ABSTRACT

Let A be a real symmetric matrix of size N such that the number of the non-zero entries in each row is polylogarithmic in N and the positions and the values of these entries are specified by an efficiently computable function. We consider the problem of estimating an arbitrary diagonal entry (A^m)_jj of the matrix A^m up to an error of εb^m, where b is an a priori given upper bound on the norm of A, m and εare polylogarithmic and inverse polylogarithmic in N, respectively. We show that this problem is BQP-complete. It can be solved efficiently on a quantum computer by repeatedly applying measurements of A to the jth basis vector and raising the outcome to the mth power. Conversely, every quantum circuit that solves a problem in BQP can be encoded into a sparse matrix such that some basis vector |j> corresponding to the input induces two different spectral measures depending on whether the input is accepted or not. These measures can be distinguished by estimating the mth statistical moment for some appropriately chosen m, i.e., by the jth diagonal entry of A^m. The problem is still in BQP when generalized to off-diagonal entries and it remains BQP-hard if A has only -1, 0, and 1 as entries.

연구 동기 및 목표

• 희약 대칭 행렬을 포함하는 자연스러운 행렬 문제를 통해 BQP 복잡도 클래스를 특성화하는 것.
• 특정 정확도 및 희박성 조건 하에서 행렬 거듭제곱의 대각성분 추정이 BQP에 속하고 또한 BQP-난이도임을 보여주는 것.
• 행렬의 성분이 {−1, 0, 1}로 제한된 경우에도 결과를 일반화하여 BQP-완전성 결과의 강건성을 보여주는 것.
• 희약 행렬의 스펙트럼 측도와 양자 계산 간의 연결 고리를 구축하여 BQP의 계산 능력에 대한 새로운 시각을 제공하는 것.

제안 방법

• 기저 상태 |j⟩에 작용하는 희박 대칭 행렬 A의 스펙트럼 분포를 측정하기 위해 양자 단계 추정 알고리즘을 사용한다.
• A를 |j⟩에 반복적으로 측정하고 결과의 m제곱을 평균 내어 스펙트럼 측도의 m번째 통계 모멘트를 추정한다.
• 입력이 수락되거나 기각되는지에 따라 |j⟩의 스펙트럼 측도가 달라지도록 BQP 양자 회로를 희박 대칭 행렬 A에 인코딩한다.
• 오ператор 노름 ≤ 1을 보장하기 위해 A를 유니터리 행렬의 실수부로 구성함으로써 오차가 유한하게 조절되도록 한다.
• Toffoli 및 Hadamard 게이트로 구성된 회로를 재스케일링하여 {−1, 0, 1} 성분을 가진 제어된 A의 구성 방법을 활용하며, 이는 BQP-난이도를 유지한다.
• m이 M^3으로 선택되고 M이 충분히 클 경우, m번째 모멘트 (A^m)_{jj}가 수락된 경우와 기각된 경우에 크게 다름을 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 희약 대칭 행렬의 거듭제곱에서 대각성분을 추정하는 문제는 양자 계산의 전반적인 능력을 포괄할 수 있는가?
• RQ2 이 행렬 추정 문제는 다항로그 희박성 및 정확도 제약 조건 하에서 양자 컴퓨터에서 효율적으로 해결 가능한가?
• RQ3 행렬 성분이 {−1, 0, 1}로 제한될 경우 BQP-완전성 결과가 유지되는가?
• RQ4 기저 상태에 대한 희약 행렬의 스펙트럼 모멘트를 사용하여 어떤 BQP 결정 문제도 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ5 희약 행렬의 구조와 그 스펙트럼 모멘트 추정의 복잡도 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 희박성 및 정확도 제약 조건 하에서 오차 εb^m 이내로 (A^m)_{jj}를 추정하는 문제는 주어진 조건 하에 BQP-완전하다.
• 반복 측정과 단계 추정을 통해 스펙트럼 측도의 m번째 모멘트를 추출함으로써 이 추정은 양자 컴퓨터에서 효율적으로 수행될 수 있다.
• A의 성분이 {−1, 0, 1}로 제한되어 있어도 문제의 BQP-난이도는 그대로 유지되며, 이는 결과가 성분 값 제약 조건에 대해 강건함을 보여준다.
• 충분히 큰 m = M^3일 경우, 입력이 언어 L에 속하지 않으면 (A^m)_{jj} > 1/(4M)이고, L에 속하면 (A^m)_{jj} < −1/(4M)가 되므로 임계값을 통해 결정을 내릴 수 있다.
• 구성 과정은 |j⟩의 스펙트럼 측도가 양자 회로의 수락 결과에 따라 달라지게 하며, 이로써 대각성분이 계산 결과를 인코딩할 수 있다.