[논문 리뷰] Estimating discontinuous periodic signals in a non-time homogeneous diffusion process

Reinhard Hoepfner, Yury A. Kutoyants|arXiv (Cornell University)|2009. 03. 29.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 27인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 알려지지 않은 단계 이동 $φ$ 를 통해 도입된 불연속적인 주기 신호를 가진 시간에 비례하지 않는 확산 과정에 대한 매개변수 추정을 다룬다. 정규화된 하모닉 재귀성 하에서 마틴갈과 함수형에 대한 점근적 정리들을 수립함으로써, 비표준 프레임워크에서 국소적 점근 정규성을 증명하며, 우도 비율이 이중측 브라운 운동 모형으로 수렴함을 보여준다. 주요 결과는 이 한계 실험에서 베이즈 추정기가 최대우도 추정기보다 더 낮은 제곱 위험을 달성한다는 것이다. 이는 이 비정규 설정에서의 우수성을 확인한다.

ABSTRACT

We consider a diffusion $(ξ_t)_{t\ge 0}$ with some $T$-periodic time dependent input term contained in the drift: under an unknown parameter $\vth\inΘ$, some discontinuity - an additional periodic signal - occurs at times $kT{+}\vth$, $k\in\bbn$. Assuming positive Harris recurrence of $(ξ_{kT})_{k\in\bbn_0}$ and exploiting the periodicity structure, we prove limit theorems for certain martingales and functionals of the process $(ξ_t)_{t\ge 0}$. They allow to consider the statistical model parametrized by $\vth\inΘ$ locally in small neighbourhoods of some fixed $\vth$, with radius $1/n$ as $ to$. We prove convergence of local models to a limit experiment studied by Ibragimov and Khasminskii [IH 81] and discuss the behaviour of estimators under contiguous alternatives.

연구 동기 및 목표

• 시간에 비례하지 않는 드리프트를 가진 확산 과정에 대해 주기적인 불연속성 매개변수 $\vartheta$ 를 포함하는 통계적 추론을 분석하는 것.
• 비정상적이고 주기적인 확산 설정에서 마틴갈과 함수형에 대한 점근 정리 수립.
• 국소 모형이 Ibragimov와 Khasminskii가 연구한 바와 같이 $\exp(W_u - \frac{1}{2}|u|)$ 형태의 우도 비율을 가진 한계 실험으로 수렴하는 것을 조사하는 것.
• 이 비정규적이고 $L^2$-미분 가능하지 않은 모형에서 최대우도 추정기와 베이즈 추정기의 점근적 성능을 비교하는 것.
• 국소적 점근 최소자승 bound 를 유도하고, $1/n$ 반경의 수축하는 이웃 영역에서 베이즈 수열이 이 bound 를 달성함을 보이는 것.

제안 방법

• 반복 구조의 세마그룹을 이용해 $T$-분할된 과정 $((\xi_{kT+s})_{0\leq s\leq T})_{k\in\mathbb{N}_0}$ 의 양의 하모닉 재귀성을 증명하는 것.
• 연속 시간 확산 $\xi_t$ 로부터 유도된 함수형과 마틴갈에 대한 강한 대수법칙과 점근 정리 수립.
• 연속적인 대안 하에서 추정기를 분석하기 위해 Le Cam의 제3보조정리와 점근적 동치성을 사용하는 것.
• 점점 $n \to \infty$ 가 되는 국소 척도 $1/n$ 을 가진 $\vartheta$ 에서의 국소 모형을 구성하고, 이들이 이중측 브라운 운동을 가진 한계 실험으로 수렴함을 보이는 것. 우도 비율은 $\widetilde{L}^{u/0} = \exp(\widetilde{W}(uJ_\vartheta) - \tfrac{1}{2}|uJ_\vartheta|)$ 로 표현된다.
• 이중측 브라운 운동 $\widetilde{W}$ 를 사용해 한계 실험을 분석하며, 헬링거 거리에서 매개변수화가 $\tfrac{1}{2}$-홀더 연속임을 확인하는 것.
• 국소적 점근 최소자승 bound 를 유도하고, 균일 사전분포를 가진 베이즈 추정기가 이 bound 를 달성함을 보여, 그 최적성을 입증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간에 비례하지 않는 확산 과정에서 불연속적인 주기 신호를 가진 모형이 $\vartheta$ 에서 국소 매개변수화 하에 점근적으로 어떻게 행동하는가?
• RQ2 모델이 $n \to \infty$ 가 되는 동안 국소 모형이 수렴하는 한계 실험은 무엇인가?
• RQ3 이 비정규 모형에서 최대우도 추정기와 베이즈 추정기의 점근적 제곱 위험 측면에서의 성능 비교는 어떻게 되는가?
• RQ4 이 설정에서 국소적 점근 최소자승 bound 를 도출할 수 있으며, 이는 달성 가능한가?
• RQ5 이 한계 실험에서 베이즈 추정기는 최대우도 추정기보다 엄격히 우수한가?

주요 결과

• 국소 모형은 이중측 브라운 운동 $\widetilde{W}$ 를 가진 한계 실험으로 수렴하며, 이에 따라 우도 비율은 $\widetilde{L}^{u/0} = \exp(\widetilde{W}(uJ_\vartheta) - \frac{1}{2}|uJ_\vartheta|)$ 로 표현된다.
• 한계 실험은 국소적으로 점근 정규적이지도 않고 $L^2$-미분 가능하지 않으며, 충분통계량이나 중심극한 구조도 갖지 않는다.
• 실수선형에서 균일 사전분포를 가진 베이즈 추정기는 반경 $1/n$ 의 수축하는 이웃 영역에서 제곱 위험의 국소적 점근 최소자승 bound 를 달성한다.
• 한계 실험에서 베이즈 추정기의 분산은 최대우도 추정기보다 엄격히 작으며, 이는 그 우수성을 확인한다.
• 증명은 점근적 동치성, Le Cam의 제3보조정리, 그리고 한계 측도 하에서 사후 평균이 베이즈 위험으로 수렴함을 이용한다.
• 우도 비율의 수렴은 $\vartheta$ 에 대해 균일하지 않으며, 저자들은 이 조건을 피하기 위해 연속적인 대안과 사후 밀도의 세부 꼬리 분석을 사용한다.