[논문 리뷰] Estimating Knots and Their Association in Parallel Bilinear Spline Growth Curve Models in the Framework of Individual Measurement Occasions

Jin Liu, Robert A. Perera|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 07.

Meta-analysis and systematic reviews참고 문헌 44인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 개인의 측정 시점 정보를 활용하여 다중 상관관계가 있는 발달 경로에서 알려지지 않은 고정점 위치와 그 변동성을 추정하기 위해 평행 이차 스플라인 성장곡선 모형(PBLSGM)을 제안한다. 이 방법은 단변량 이차 스플라인 모형을 다변량 프레임워크로 확장하여 비선형 변화 패턴을 함께 모델링할 수 있게 하며, 고정점-고정점 간 연관성도 추정할 수 있도록 한다. 시뮬레이션 및 실데이터 검증을 통해 모수 추정치는 편향이 없고, 신뢰구간의 커버리지가 적절한 것으로 나타났다.

ABSTRACT

Latent growth curve models with spline functions are flexible and accessible statistical tools for investigating nonlinear change patterns that exhibit distinct phases of development in manifested variables. Among such models, the bilinear spline growth model (BLSGM) is the most straightforward and intuitive but useful. An existing study has demonstrated that the BLSGM allows the knot (or change-point), at which two linear segments join together, to be an additional growth factor other than the intercept and slopes so that researchers can estimate the knot and its variability in the framework of individual measurement occasions. However, developmental processes usually unfold in a joint development where two or more outcomes and their change patterns are correlated over time. As an extension of the existing BLSGM with an unknown knot, this study considers a parallel BLSGM (PBLSGM) for investigating multiple nonlinear growth processes and estimating the knot with its variability of each process as well as the knot-knot association in the framework of individual measurement occasions. We present the proposed model by simulation studies and a real-world data analysis. Our simulation studies demonstrate that the proposed PBLSGM generally estimate the parameters of interest unbiasedly, precisely and exhibit appropriate confidence interval coverage. An empirical example using longitudinal reading scores, mathematics scores, and science scores shows that the model can estimate the knot with its variance for each growth curve and the covariance between two knots. We also provide the corresponding code for the proposed model.

연구 동기 및 목표

• 다양한 상관관계가 있는 발달 과정에서 알려지지 않은 고정점 위치와 그 변동성을 추정할 수 있는 평행 이차 스플라인 성장곡선 모형(PBLSGM)을 개발하는 것.
• 기존의 단변량 이차 스플라인 모형을 다변량 프레임워크로 확장하여 상관관계가 있는 변화 패턴을 함께 모델링할 수 있는 능력을 갖춘 모형을 개발하는 것.
• 평행 성장곡선에서 절편과 기울기 연관성 외에도 고정점-고정점 간 연관성을 추정할 수 있도록 하는 것.
• 모델 추정치를 원래의 매개변수 공간에서 해석할 수 있도록 변환 방법을 제공하여 해석 가능성 향상.
• 이질적인 측정 시점과 수렴 문제 발생 가능성을 고려한 종단적 자료 분석의 실용적 과제 해결.

제안 방법

• 알려지지 않은 고정점 위치를 가진 두 개 이상의 비선형 성장 경로를 동시에 모델링할 수 있도록 이차 스플라인 성장모형(BLSGM)의 다변량 확장을 제안한다.
• 각 결과의 성장곡선을 고정점이 무작위 효과로 포함된 조각별 선형 함수로 모델링하여 변화점의 시기 변동성을 개인별로 허용한다.
• 고정점 평균, 분산, 공분산의 직접적 해석이 가능하도록 성장요인을 재매개변수화하는 기법을 적용한다.
• 재매개변수화된 공간에서의 추정치를 원래 매개변수 공간으로 되돌리기 위해 역변환 함수를 적용하여 의미 있는 해석 가능성을 확보한다.
• 누락 데이터가 임의로 누락(MAR)된 조건 하에서 개인의 측정 시점을 처리하기 위해 전체 정보 최대우도(정규화된 최대우도, FIML) 기법을 사용한다.
• 모델 구현 및 재현을 위해 온라인 부록에 OpenMx 및 Mplus 8 스크립트를 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 평행 이차 스플라인 성장곡선 모형은 다수의 상관관계가 있는 발달 경로에서 알려지지 않은 고정점 위치와 그 변동성을 추정할 수 있는가?
• RQ2 다양한 표본 크기와 측정 조건 하에서 PBLSGM 추정치의 편향, 정밀도, 커버리지 성능은 어떠한가?
• RQ3 특히 소표본 또는 중간 수준의 고정점 분산 조건에서 모형 복잡도가 수렴 및 타당한 해의 비율에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ4 실용적 적용에서 시간 척도의 차이(예: 연령 대비 학년 수준)가 고정점 추정치와 모형 해석에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 다양한 기능 형태(예: 이차함수)와 비교할 때 연합 발달 모델링에서 PBLSGM을 선택할 때의 최선의 실천 방법은 무엇인가?

주요 결과

• 시뮬레이션 연구에서 PBLSGM은 성장요인(절편, 기울기, 고정점)의 평균을 낮은 편향, 높은 정밀도, 적절한 95% 신뢰구간 커버리지로 잘 추정한다.
• 성장요인의 분산 및 공분산 추정치는 일반적으로 정확했지만, 소표본 크기 또는 낮은 측정 정밀도 조건에서는 약간의 편향(10% 초과)이 발생했다.
• 완전한 PBLSGM 모형은 종종 부적절한 해(예: 음수 고정점 분산 또는 범위를 벗어난 상관계수)를 생성했으며, 특히 고정점 분산을 0.3으로 설정했을 때 두드러졌다.
• 고정점-고정점 공분산을 제외한 축소형 PBLSGM 모형은 표준오차는 유사했고, 편향은 약간 증가했으며, 이는 수렴 실패 시 유의미한 대안이 되었다.
• ECLS-K: 2011 자료를 활용한 실증 적용에서 PBLSGM은 독해력 및 수학 점수의 초기 발달 변화를 더 잘 포착하여 이차함수 모형보다 우수한 성능을 보였다.
• 민감도 분석 결과, 고정점 추정치는 다양한 시간 척도(연령 대비 학년 수준)에서 일관되었지만, 학년 기반 고정점은 더 높은 이질성을 보였으며, 연구 목적에 기반한 시간 척도 선택의 중요성을 강조했다.