[논문 리뷰] Eulerian series, zeta functions and the arithmetic of partitions

Robert Schneider|arXiv (Cornell University)|2020. 08. 10.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 76인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 분할 이론적 제타 함수와 q-브라켓 연산자를 도입하여 정수 분할의 곱셈적 산술을 수립하며, q급수, 모듈라 형식, 고전적 수론 간의 깊은 연결 고리를 드러낸다. q급수를 사용하여 산술 밀도의 명시적 공식을 유도하고, 라마누잔의 모크 초월 함수가 역자기 삼중곱의 q-브라켓으로부터 유래됨을 증명하며, 단위근에서 q하이퍼지오메트릭 함수에 대한 순환유사 항등식을 밝혀낸다.

ABSTRACT

In this Ph.D. dissertation (2018, Emory University) we prove theorems at the intersection of the additive and multiplicative branches of number theory, bringing together ideas from partition theory, $q$-series, algebra, modular forms and analytic number theory. We present a natural multiplicative theory of integer partitions (which are usually considered in terms of addition), and explore new classes of partition-theoretic zeta functions and Dirichlet series -- as well as "Eulerian" $q$-hypergeometric series -- enjoying many interesting relations. We find a number of theorems of classical number theory and analysis arise as particular cases of extremely general combinatorial structure laws. Among our applications, we prove explicit formulas for the coefficients of the $q$-bracket of Bloch-Okounkov, a partition-theoretic operator from statistical physics related to quasi-modular forms; we prove partition formulas for arithmetic densities of certain subsets of the integers, giving $q$-series formulas to evaluate the Riemann zeta function; we study $q$-hypergeometric series related to quantum modular forms and the "strange" function of Kontsevich; and we show how Ramanujan's odd-order mock theta functions (and, more generally, the universal mock theta function $g_3$ of Gordon-McIntosh) arise from the reciprocal of the Jacobi triple product via the $q$-bracket operator, connecting also to unimodal sequences in combinatorics and quantum modular-like phenomena.

연구 동기 및 목표

• 기존에 덧셈 조합론으로 연구되어 온 정수 분할의 곱셈적 산술을 개발하기 위해.
• 고전적 제타 함수를 일반화하는 분할 이론적 제타 함수와 딜리클레 급수를 도입하기 위해.
• 분할 이론적 구성들을 통해 q-브라켓 연산자가 준위모듈라 형식과 모크 초월 함수에 어떻게 연결되는지 밝히기 위해.
• 정수 부분집합의 산술 밀도를 위한 q급수 공식을 도출하고, 리만 제타 함수의 평가를 포함하기 위해.
• 양자 모듈라 유사 현상과 단위근에서 q하이퍼지오메트릭 함수에 대한 순환 항등식을 조사하기 위해.

제안 방법

• 분할 생성함수를 모듈라 유형 객체로 매핑하기 위해 q-브라켓 연산자를 사용한다.
• 분할 이론적 산술의 맥락에서 조합적 항등식을 도출하기 위해 모비우스 역전제를 적용한다.
• q-이항정리와 생성함수 기법을 활용하여 분할 밀도를 분석한다.
• 특수한 단위근에서 q하이퍼지오메트릭 급수의 값을 분석하며, 콘체비치의 이상한 함수와 관련된 함수 f(q)에 중점을 둔다.
• 에이히러 적분 이론과 원분 다항식의 성질을 활용하여 단위근에서의 대수적 구조를 연구한다.
• 역자기 삼중곱을 기초적 객체로 사용하고, 이를 q-브라켓을 통해 변환하여 모크 초월 함수를 생성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 q급수와 제타 함수를 활용하여 정수 분할의 곱셈적 산술을 어떻게 체계적으로 발전시킬 수 있는가?
• RQ2 q-브라켓 연산자가 분할 생성함수로부터 모듈라 형식과 모크 모듈라 형식을 어떻게 생성하는가?
• RQ3 정수 부분집합의 산술 밀도는 q급수로 표현될 수 있으며, 이러한 표현이 리만 제타 함수의 평가를 이끌어낼 수 있는가?
• RQ4 f(q)와 같은 q하이퍼지오메트릭 함수가 단위근에서 어떤 순환 또는 대수적 항등식을 보이는가?
• RQ5 라마누잔의 홀수차 모크 초월 함수는 역자기 삼중곱을 q-브라켓을 통해 어떻게 유도되는가?

주요 결과

• 역자기 삼중곱의 q-브라켓은 라마누잔의 보편 모크 초월 함수 $ g_3 $를 생성하며, 분할 이론과 모크 모듈라 형식 간의 연결 고리를 형성한다.
• 특정 정수 부분집합의 산술 밀도를 위한 명시적 q급수 공식이 도출되었으며, 이는 양의 정수에서 리만 제타 함수의 평가를 포함한다.
• 오차 단위근에서 $ \widetilde{f}(\zeta_5^i) $의 값은 대칭적이고 곱셈적 항등식을 만족하며, 예를 들어 $ \widetilde{f}(\zeta_5)\widetilde{f}(\zeta_5^2)\widetilde{f}(\zeta_5^3)\widetilde{f}(\zeta_5^4) = 1 $과 같이, 더 깊은 순환 구조를 시사한다.
• 상이한 지수 $ i \neq j $ 에 대해 쌍의 곱 $ \widetilde{f}(\zeta_5^i)\widetilde{f}(\zeta_5^j) $ 는 단위근과 같음을 보였으며, 예를 들어 $ \widetilde{f}(\zeta_5)\widetilde{f}(\zeta_5^3) = \zeta_5 $ 와 같이, 숨겨진 대칭성이 존재함을 나타낸다.
• 콘체비치의 이상한 함수와 관련된 함수 $ f(q) $ 는 $ \zeta_5^i f(\zeta_5^i) = \zeta_5^{-i} f(\zeta_5^{-i}) $ 라는 대칭적 함수방정식을 만족하며, 오차 단위근에서 성립한다.
• 수치적 증거는 $ \gcd(p,i)=1 $ 인 $ \widetilde{f}(\zeta_p^i) $ 의 기본 대칭합이 모듈로 $ p $ 에서 정수임을 시사하며, 값들은 모듈로 $ p $ 에서 순환함을 보이고 있으나, 이는 아직 증명되지 않았다.