[논문 리뷰] Evaluations of Euler type sums of weight $\leq$ 5

Ce Xu|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 09.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 18인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 총 무게 ≤5인 경우 $ x = \frac{1}{2} $에서 오일러 형 합수 $ S_{p_1 p_2 \cdots p_m, p}(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{H_n^{(p_1)} H_n^{(p_2)} \cdots H_n^{(p_m)}}{n^p} x^n $를 평가한다. 선형 관계와 알려진 특수 함수를 이용하여, 이러한 모든 합수는 유리수 계수의 리만 제타값, 다중로그함수, $ \log(2) $의 곱의 선형 조합으로 표현될 수 있음을 증명하며, 무게 5의 경우에 대해 명시적인 닫힌 형태를 제공하고, 무게 6의 합수에 대한 항등식을 유도한다.

ABSTRACT

Let $p,p_1,\ldots,p_m$ be positive integers with $p_1\leq p_2\leq\cdots\leq p_m$ and $x\in [-1,1)$, define the so-called Euler type sums ${S_{{p_1}{p_2} \cdots {p_m},p}}\left( x ight)$, which are the infinite sums whose general term is a product of harmonic numbers of index $n$, a power of $n^{-1}$ and variable $x^n$, by \[S_{p_1 p_2 \cdots p_m, p}(x) := \sum_{n = 1}^\infty \frac{H_n^{(p_1)} H_n^{(p_2)} \cdots H_n^{(p_m)}} {n^p} x^n \quad (m\in \mathbb{N} := \{1,2,3,\ldots\}), \] where $H_n^{(p)}$ is defined by the generalized harmonic number. Extending earlier work about classical Euler sums, we prove that whenever $p+p_1+\cdots+p_m \leq 5$, then all sums ${S_{{p_1}{p_2} \cdots {p_m},p}}\left( 1/2 ight)$ can be expressed as a rational linear combination of products of zeta values, polylogarithms and $\log(2)$. The proof involves finding and solving linear equations which relate the different types of sums to each other.

연구 동기 및 목표

• 총 무게 ≤5인 경우 $ x = \frac{1}{2} $에서 일반화된 오일러 합수를 기본 상수의 조합으로 표현할 수 있는지 결정하는 것.
• 고전적 오일러 합수 평가를 일반화된 조화수와 $ x^n $를 포함하는 가중치 합수로 확장하는 것.
• 이러한 합수를 제타값, 다중로그함수, $ \log(2) $의 유리수 계수 선형 조합으로 표현하는 체계적인 방법을 수립하는 것.
• 총 무게 $ \leq 5 $인 모든 $ S_{p_1 p_2 \cdots p_m, p}\left(\frac{1}{2}\right) $에 대해 명시적인 닫힌 형태를 유도하는 것.
• 동일한 방법을 사용하여 무게 6의 고차 합수 간의 항등식을 탐색하는 것.

제안 방법

• 다양한 유형의 오일러 형 합수 간의 선형 방정식계를 구성하고 풀이하는 데 기반한다.
• 로그함수와 다중로그함수를 포함하는 알려진 적분 표현 및 생성함수를 이용하여 항등식을 도출한다.
• 다중 조화합수와 다중 제타값(MZVs), 포함된 교대형 변형까지의 연결 고리를 활용한다.
• 생성함수 항등식 $ \sum_{n=1}^\infty H_n^{(p)} \frac{x^n}{n^q} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^p} \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^q (n+k)} $를 이용하여 관계를 유도한다.
• 이미 알려진 항등식 $ S_{2n-1,1}(z) = \mathrm{Li}_{2n}(z) + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{2n-1} (-1)^{k+1} \mathrm{Li}_k(z) \mathrm{Li}_{2n-k}(z) $를 사용하여 $ S_{5,1}(1/2) $의 닫힌 형태를 도출한다.
• 무게 6 합수의 평가는 동일한 무게의 합수 간 선형 관계를 유도하고 풀이하여 이루어지며, 예를 들어 $ \mathrm{Li}_3^2(1/2) = 2S_{3,3}(1/2) + \cdots - 20\mathrm{Li}_6(1/2) $와 같은 식을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 총 무게 ≤5인 경우 $ x = \frac{1}{2} $에서 모든 오일러 형 합수는 제타값, 다중로그함수, $ \log(2) $의 유리수 계수 선형 조합으로 표현될 수 있는가?
• RQ2 특히 $ x = \frac{1}{2} $에서 동일한 무게의 오일러 형 합수 간에 어떤 선형 관계가 존재하는가?
• RQ3 고차 무게 합수(예: 무게 6)는 어떻게 낮은 무게의 합수와 특수 함수와 연결될 수 있는가?
• RQ4 $ S_{5,1}(1/2) $에 대해 어떤 닫힌 형태의 표현식을 도출할 수 있는가?
• RQ5 일반화된 조화수와 $ x^n $의 곱을 포함하는 합수를 $ x = \frac{1}{2} $에서 평가하기 위한 체계적인 방법이 있는가?

주요 결과

• 총 무게 ≤5인 경우 $ x = \frac{1}{2} $에서 모든 오일러 형 합수는 제타값, 다중로그함수, $ \log(2) $의 곱의 유리수 계수 선형 조합으로 표현 가능하다.
• $ S_{5,1}\left(\frac{1}{2}\right) $는 $ \mathrm{Li}_6(1/2) $, $ \mathrm{Li}_5(1/2)\log(2) $, $ \mathrm{Li}_4(1/2)\zeta(2) $, $ \mathrm{Li}_4(1/2)\log^2(2) $, $ \zeta^2(3) $, $ \log(2) $의 거듭제곱을 포함하는 닫힌 형태를 가진다.
• $ \mathrm{Li}_3^2(1/2) = 2S_{3,3}(1/2) + 6S_{2,4}(1/2) + 12S_{1,5}(1/2) - 20\mathrm{Li}_6(1/2) $라는 항등식이 성립하며, 이는 $ S_{3,3}(1/2) $의 평가를 가능하게 한다.
• $ \zeta(4,1,1;1/2) $는 $ S_{1^2,4}(1/2) $, $ S_{2,4}(1/2) $, $ S_{1,5}(1/2) $, $ \mathrm{Li}_6(1/2) $의 조합으로 표현되며, $ \zeta(6) $, $ \zeta^2(3) $, $ \mathrm{Li}_5(1/2)\log(2) $, $ \log(2) $의 거듭제곱을 포함하는 유리수 표현식을 제공한다.
• $ S_{5,1}(1/2) $의 평가는 식 (6.103)–(6.105)의 항등식에서 유도되며, $ \mathrm{Li}_6(1/2) $, $ \mathrm{Li}_5(1/2)\log(2) $, $ \zeta^2(3) $, $ \log^6(2) $를 포함하는 10개의 항으로 이루어진 닫힌 형태를 가진다.
• 이 방법은 무게 6 합수에 대해 성공적으로 항등식을 도출하였으며, 예를 들어 $ \mathrm{Li}_2(1/2)\mathrm{Li}_4(1/2) = S_{4,2}(1/2) + 2S_{3,3}(1/2) + 4S_{2,4}(1/2) + 8S_{1,5}(1/2) - 15\mathrm{Li}_6(1/2) $와 같은 식을 포함한다.