[논문 리뷰] Evolution of generalized couple-stress continuum theories: a critical analysis

Ali R. Hadjesfandiari, Gary F. Dargush|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 30.

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures참고 문헌 33인용 수 25

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 쌍력 스트레인 연속체 이론을 비판적으로 분석하며, 일관된 체적 의존성 기계학 이론이 변위 및 매크로각운동장을 기본 자유도로 가져야 한다고 주장한다. 이는 인위적인 미크로각운동장을 배제하는 바이다. 연구는 비율성 곡률 텐서가 쌍력 텐서의 구면 부분에 대해 부정확성을 유도함을 보이며, 표면 모멘트 힘의 법선 성분이 항상 0이 되어야 한다고 규명한다. 이는 쌍력, 응력 기울기, 마이크로폴라 이론을 일관된 수학적 및 기계학적 프레임워크 안에서 통합하고 정교화한다.

ABSTRACT

In this paper, we examine different generalized couple-stress continuum mechanics theories, including couple stress, strain gradient and micropolar theories. First, we investigate the fundamental requirements in any consistent size-dependent couple stress continuum mechanics, for which satisfying basic rules of mathematics and mechanics are crucial to establish a consistent theory. As a result, we show that continuum couple stress theory must be based on the displacement field and its corresponding macrorotation field as degrees of freedom, while an extraneous artificial microrotation cannot be a true continuum mechanical concept. Furthermore, the idea of generalized force and independent generalized degrees of freedom show that the normal component of the surface moment traction vector must vanish. Then, with these requirements in mind, various existing couple stress theories are examined critically, and we find that certain deviatoric curvature tensors create indeterminacy in the spherical part of the couple stress tensor. We also examine micropolar and micromorphic theories from this same perspective.

연구 동기 및 목표

• 크기 의존성 연속체 기계학 이론에 대한 기본 일관성 기준을 수립하기 위해.
• 쌍력, 응력 기울기, 마이크로폴라 이론에서 오랫동안 애매하게 여겨진 문제를 해결하기 위해.
• 인위적인 미크로각운동장이 연속체 기계학 원리와 호환되지 않음을 입증하기 위해.
• 일관된 이론에서 표면 모멘트 힘의 법선 성분이 항상 0이 되어야 한다는 것을 보여주기 위해.
• 일관된 수학적 및 물리적 원칙 아래에서 일반화된 쌍력 이론을 통합하고 철저히 평가하기 위해.

제안 방법

• 텐서 대칭성과 보존 법칙을 포함한 수학적 및 기계학적 공리로부터 기본 일관성 조건을 유도하기 위해.
• 변위 및 매크로각운동장이 주된 자유도로 작용하는 역할을 분석하고, 불필요한 미크로각운동장을 배제하기 위해.
• 일반화된 힘과 일반화된 자유도 개념을 적용하여 표면 힘에 대한 제약 조건을 유도하기 위해.
• 특히 비율성 부분을 중심으로 곡률 텐서의 구조를 분석하여 쌍력 텐서의 부정확성 원인을 규명하기 위해.
• 유도된 일관성 기준에 따라 쌍력, 응력 기울기, 마이크로폴라, 마이크로모르픽 이론을 비교·분석하기 위해.
• 텐서 대수학과 변분 원리를 사용하여 제어 방정식과 경계 조건을 수학적으로 형식화하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일관된 크기 의존성 연속체 이론을 위한 기본 수학적 및 기계학적 조건은 무엇인가?
• RQ2 왜 인위적인 미크로각운동장은 연속체 기계학 원리와 호환되지 않는가?
• RQ3 곡률 텐서의 선택(예: 비율성 대비 전체 텐서)이 쌍력 텐서의 결정성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 일관된 쌍력 이론에서 표면 모멘트 힘에 대한 제약 조건은 무엇인가?
• RQ5 일관성 기준이 동일한 조건에서 마이크로폴라 이론과 마이크로모르픽 이론이 일반화된 쌍력 이론과 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 어떤 일관된 쌍력 이론에서도 변위 및 매크로각운동장이 기본 자유도로 작용해야 한다.
• 인위적인 미크로각운동장은 진정한 연속체 기계학 개념이 될 수 없으며, 일관된 수식에서 배제되어야 한다.
• 일관된 이론에서 표면 모멘트 힘 벡터의 법선 성분은 항상 0이 되어야 한다.
• 비율성 곡률 텐서는 쌍력 텐서의 구면 부분에 대해 부정확성을 유도하므로, 일부 수식은 무효화된다.
• 일관된 수학적 및 물리적 원칙 아래에서 일반화된 쌍력 이론은 응력 기울기 이론 및 마이크로폴라 이론과 통합된다.
• 명확한 유효성 기준을 설정함으로써 기존 일반화된 쌍력 이론의 오랫동안 애매하게 여겨진 일관성 문제를 해결한다.