[논문 리뷰] Foundations of consistent couple stress theory

Ali R. Hadjesfandiari, Gary F. Dargush|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 29.

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures참고 문헌 9인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 연속체역학에서 일관된 반대칭 쌍모멘트 응력 이론의 이론적 기초를 수립하며, 이론의 내재적 일관성, 단순성 및 고전역학과의 일치성을 입증한다. 변형은 재료 요소 간의 상대적 이동과 회전으로 자연스럽게 기술되며, 연속적인 변위 및 회전 장을 주요 변수로 삼아, 오랫동안 지속된 쌍모멘트 응력 텐서의 반대칭성에 대한 암시적 혼란을 해결한다.

ABSTRACT

In this paper, we examine the recently developed skew-symmetric couple stress theory and demonstrate its inner consistency, natural simplicity and fundamental connection to classical mechanics. This hopefully will help the scientific community to overcome any ambiguity and skepticism about this theory, especially the validity of the skew-symmetric character of the couple-stress tensor. We demonstrate that in a consistent continuum mechanics, the response of infinitesimal elements of matter at each point decomposes naturally into a rigid body portion, plus the relative translation and rotation of these elements at adjacent points of the continuum. This relative translation and rotation captures the deformation in terms of stretches and curvatures, respectively. As a result, the continuous displacement field and its corresponding rotation field are the primary variables, which remarkably is in complete alignment with rigid body mechanics, thus providing a unifying basis. For further clarification, we also examine the deviatoric symmetric couple stress theory that, in turn, provides more insight on the fundamental aspects of consistent continuum mechanics.

연구 동기 및 목표

• 마이크로폴라 탄성에서 쌍모멘트 응력 텐서의 반대칭 성격에 대한 오랫동안 지속된 암시적 혼란과 의심을 해결하기 위해.
• 고전역학 원칙에 기반한 일관되고 기본적인 쌍모멘트 응력 이론의 프레임워크를 수립하기 위해.
• 재료 요소 간의 상대적 이동과 회전이 스트레치와 곡률을 기반으로 변형을 자연스럽게 기술할 수 있음을 보여주기 위해.
• 변위 및 회전 장을 주요 변수로 간주함으로써 변형의 기술을 강체역학과 통합하기 위해.
• 편미분 대칭 쌍모멘트 응력 이론과의 비교를 통해 일관된 연속체역학의 물리적 및 수학적 기초를 명확히 하기 위해.

제안 방법

• 연속체역학의 기본 원칙에 기반하여 일관된 쌍모멘트 응력 이론을 유도하며, 선운동량과 각운동량의 균형을 강조한다.
• 무한소 재료 요소 간의 상대 운동 개념을 도입하여 스트레치와 곡률을 기반으로 변형을 정의한다.
• 반대칭 쌍모멘트 응력 텐서가 상대적 회전과 이동의 운동학적 성질에서 자연스럽게 유도됨을 보여준다.
• 변분 접근법을 사용하여 제어 방정식을 유도함으로써 에너지 및 운동량 원칙과의 일관성을 확보한다.
• 편미분 대칭 쌍모멘트 응력 이론과의 비교를 통해 근본적인 차이점과 이론적 우월성을 부각시킨다.
• 고전역학과의 일致성 검증을 통해 모순이나 비물리적 거동이 없음을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 반대칭 쌍모멘트 응력 텐서는 연속체역학의 프레임워크 내에서 물리적으로 일관된가?
• RQ2 접근하는 점들 사이의 재료 요소 간 상대 운동은 변형을 어떻게 자연스럽게 기술하는가?
• RQ3 제안된 쌍모멘트 응력 이론과 고전적 강체역학 사이의 근본적인 연결 고리는 무엇인가?
• RQ4 반대칭 이론은 편미분 대칭 쌍모멘트 응력 형식과 어떻게 다를까? 어떤 점에서 개선되었는가?
• RQ5 연속적인 변위 및 회전 장은 일관된 연속체역학 프레임워크에서 주요 변수로 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 반대칭 쌍모멘트 응력 텐서는 연속체역학의 균형 법칙과 본질적으로 일관되며, 특수한 가정이 필요하지 않다.
• 변형은 강체 운동, 상대적 이동, 상대적 회전으로 자연스럽게 분해되며, 후자 두 가지가 스트레치와 곡률을 기술한다.
• 연속적인 변위 및 회전 장이 기본 운동학 변수로 부상하며, 이는 이론이 고전역학과 일치함을 보여준다.
• 이론은 비물리적 거동을 피하고 에너지 및 운동량 보존 법칙과 일관성을 유지한다.
• 편미분 대칭 쌍모멘트 응력 이론과의 비교에서 반대칭 형식이 더 물리적으로 타당하고 수학적으로 더 조화로운 기술을 제공하는 것으로 드러났다.
• 이 프레임워크는 일관된 마이크로-회전과 마이크로-변형 처리를 통해 마이크로폴라 역학과 고전적 연속체역학 간의 통합적 기초를 제공한다.