[논문 리뷰] Exact completions and small sheaves

Michael Shulman|arXiv (Cornell University)|2012. 03. 20.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 36인용 수 25

한 줄 요약

이 논문은 $\kappa$-항 사이트와 $\kappa$-항 정확 범주를 정의하여 범주론에서 정확 완성의 통합 프레임워크를 제안한다. 이는 $\kappa$-항 정확 완성이 $\kappa$-항 사이트의 반사적 부분2-범주가 되며, 고전적 구성들인 전전이(프리토포스) 완성, 셰이프화, 그리고 작은 프레시프의 범주를 포함하는 일반적인 보편 성질을 가짐을 보여준다. 핵심 결과는 일반화된 사이트의 사상과 두 가지 대칭적인 구성(표현 가능한 프로파운터와 아나펑터를 통한)을 통해 2-범주적 구조의 다른 분해에 대응하는 $\kappa$-항 정확 완성을 구성하는 것이다.

ABSTRACT

We prove a general theorem which includes most notions of "exact completion". The theorem is that "k-ary exact categories" are a reflective sub-2-category of "k-ary sites", for any regular cardinal k. A k-ary exact category is an exact category with disjoint and universal k-small coproducts, and a k-ary site is a site whose covering sieves are generated by k-small families and which satisfies a weak size condition. For different values of k, this includes the exact completions of a regular category or a category with (weak) finite limits; the pretopos completion of a coherent category; and the category of sheaves on a small site. For a large site with k the size of the universe, it gives a well-behaved "category of small sheaves". Along the way, we define a slightly generalized notion of "morphism of sites", and show that k-ary sites are equivalent to a type of "enhanced allegory".

연구 동기 및 목표

• 프리토포스 완성, 셰이프화, 작은 프레시프 범주와 같은 다양한 정확 완성 구성들을 하나의 범주론적 프레임워크로 통합하기.
• 밀도 있는 포함과 비하위칸토로피를 포함하는 일반화된 사이트 사상의 개념을 도입하여 더 넓은 적용 가능성을 확보하기.
• 모든 정규 기수 $\kappa$에 대해 $\kappa$-항 정확 범주는 $\kappa$-항 사이트의 반사적 부분2-범주임을 증명하고, 정확 완성의 보편 성질을 제공하기.
• 표현 가능한 프로파운터와 아나펑터를 통한 두 가지 대칭적인 방법으로 $\kappa$-항 정확 완성이 동일하게 구성됨을 보여주고, 2-범주적 구조의 다른 분해에 대응함을 밝히기.
• 만일 $\kappa$가 유니버스의 크기일 경우, 큰 사이트에 대한 자명한 위상에서의 $\kappa$-항 정확 완성이 자연스럽게 그 사이트의 작은 셰이프의 범주로 나타남을 보여주기.

제안 방법

• 모든 커버링 싸이클이 $\kappa$-소 가족으로 생성되고, $\kappa$에 대해 유한한 극한에 대해 약한 해집합 조건을 만족하는 사이트인 $\kappa$-항 사이트의 개념을 도입한다.
• 모든 보편적으로 효과적인 동치관계와 이심, 보편적인 $\kappa$-소 코프로덕트를 갖는 범주를 $\kappa$-항 정확 범주로 정의한다.
• 표현 가능하게 평탄한 것 외에도, 공역의 위상에 대해 평탄한 함자를 포함하는 사이트의 사상 개념을 일반화하여, 밀도 있는 부분사이트 포함을 포함한다.
• 표현 가능한 프로파운터(관계에 대응)와 아나펑터(부분 함수에 대응)를 사용한 두 가지 동치 방법으로 $\kappa$-항 사이트의 $\kappa$-항 정확 완성을 구성한다.
• $\kappa$-항 사이트와 특정한 확장된 앨레고리의 범주 간 2-범주적 동치를 확립하여, 앨레고리적 추론을 통해 정확 완성을 구성할 수 있음을 보장한다.
• 정확 완성의 보편 성질을 사용하여, 사이트의 $\kappa$-항 정확 완성으로의 사상이 커버링 평탄 함수와 일치함을 보여주며, 고전적 평탄 함수와 셰이프화 결과의 일반화를 이룬다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 프리토포스 완성, 셰이프화, 작은 프레시프 범주와 같은 정확 완성 구성들이 하나의 범주론적 프레임워크로 통합될 수 있는가?
• RQ2 밀도 있는 포함과 비하위칸토로피를 포함하기 위해 사이트 사상의 개념을 어떻게 일반화할 수 있으며, 정확 완성의 보편 성질을 유지할 수 있는가?
• RQ3 표현 가능한 프로파운터와 아나펑터를 통한 두 가지 정확 완성 구성 방법은 어떻게 관련되어 있으며, 범주론적으로는 무엇을 의미하는가?
• RQ4 $\kappa$-항 정확 완성의 정확한 보편 성질은 무엇이며, 기존의 보편 성질을 어떻게 일반화하는가?
• RQ5 큰 사이트의 $\kappa$-항 정확 완성이 잘 정의된 작은 셰이프의 범주를 만들어내는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• $\kappa$-항 정확 완성이 $\kappa$-항 사이트의 2-범주에서 반사적 부분2-범주가 되며, 정확 완성의 보편 성질을 일반화함을 보여준다.
• $\kappa = \omega$일 때, 코herent 범주에 대한 $\kappa$-항 정확 완성은 그 전전이 완성으로 되며, 고전적 결과를 복원한다.
• $\kappa = \KA$ (유니버스의 크기)일 때, 자명한 위상의 큰 사이트에 대한 $\kappa$-항 정확 완성은 그 사이트의 작은 셰이프의 범주로 나타난다.
• $\kappa$-항 정확 완성은 두 가지 대칭적인 방법으로 구성될 수 있다: 표현 가능한 프로파운터를 통한 방법(관계에 대응)과 아나펑터를 통한 방법(부분 함수에 대응), 두 방법은 동치 결과를 낳는다.
• 작은 사이트 사이의 함자는 커버링 평탄함수일 필요가 있고 오직 그 때에만, 그 왼쪽 칸 확장과 셰이프화의 병합이 유한한 극한을 보존한다. 이는 존스톤의 *Sketches of an Elephant*에서의 결과를 일반화한다.
• 범주를 그 $\kappa$-항 가족 범주로 포함시키는 것은 밀도가 있으며, 원래 범주의 $\kappa$-항 정확 완성은 그 가족 범주의 단항 정확 완성과 동치이다.