[논문 리뷰] Exact results for boundaries and domain walls in 2d supersymmetric theories

Daigo Honda, Takuya Okuda|arXiv (Cornell University)|2013. 08. 09.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 55인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 2차원 ${\cal N}=(2,2)$ 게이지 선형 시그마 모델에서 B형 D-브라나에 대해 초대칭 국소화를 사용하여 정확한 반구분할 파artition 함수를 계산하며, 그 결과가 브라나의 K-이론 클래스에만 의존한다는 것을 보여준다. 이는 중심 전하 공식을 이상 흡수를 통해 완성하는 정확한 국소화 기반 계산을 제공하며, 제품 이론에서 D-브라나로 도메인 월을 구성하여 4차원 선 연산자와 AGT dualit에 연결하고, $sl(2)$ 보편 히브의 대칭을 실현한다.

ABSTRACT

We apply supersymmetric localization to N=(2,2) gauged linear sigma models on a hemisphere, with boundary conditions, i.e., D-branes, preserving B-type supersymmetries. We explain how to compute the hemisphere partition function for each object in the derived category of equivariant coherent sheaves, and argue that it depends only on its K theory class. The hemisphere partition function computes exactly the central charge of the D-brane, completing the well-known formula obtained by an anomaly inflow argument. We also formulate supersymmetric domain walls as D-branes in the product of two theories. In particular 4d line operators bound to a surface operator, corresponding via the AGT relation to certain defects in Toda CFT's, are constructed as domain walls. Moreover we exhibit domain walls that realize the sl(2) affine Hecke algebra.

연구 동기 및 목표

• 2차원 ${\cal N}=(2,2)$ 이론에서 B형 D-브라나에 대한 정확한 반구분할 파artition 함수를 초대칭 국소화를 통해 계산한다.
• 반구분할 파artition 함수가 브라나의 K-이론 클래스에만 의존한다는 것을 입증하여 중심 전하의 이상 흡수 공식을 확인하고 완성한다.
• 제품 이론에서 D-브라나로 도메인 월을 공식화하여 AGT 대칭을 통해 4차원 선 연산자를 실현한다.
• 2차원 ${\cal N}=(2,2)$ 이론의 맥락에서 도메인 월을 통해 $sl(2)$ 보편 히브 대칭을 실현한다.
• 비틀린 질량과 $G_{\text{F}}$-등변 구조를 포함하여 등변 K-이론으로 일반화하는 프레임워크를 확장한다.

제안 방법

• B형 초대칭을 보존하는 D-브라나에 대해 반구분할 파artition 함수 $Z_{\text{hem}}({\cal B}; t; m)$ 를 계산하기 위해 초대칭 국소화를 적용한다.
• 반구를 $S^2$ 의 반으로 간주하며, 경계 상태 $|{\cal B}\rangle$ 와 진공 상태 $|{\bf 1}\rangle$ 를 고려하여 $Z_{\text{hem}} = \langle{\cal B}|{\bf 1}\rangle$ 라 정의한다.
• 국소화 초대칭 보존 연산자 삽입을 포함한 경로 적분을 사용하여 쌍대 $\langle{\cal B}|{\tt f}\rangle$ 를 정의하며, 이를 파artition 함수의 일반화로 간주한다.
• 등변 코herent sheaf의 유도 범주 프레임워크 내에서 작업하여 파artition 함수가 브라나의 K-이론 클래스에만 의존한다는 것을 보여준다.
• 제품 이론에서 D-브라나로 도메인 월을 구성하여 AGT 대칭을 통해 4차원 선 연산자를 실현한다.
• 코체인 사상과 매핑 콘스를 사용하여 수렴하지 않는 적분을 다루며, 잔여 계산과 연결 공식을 통해 단계 간 해석적 계속을 가능하게 한다 (예: $r \gg 0$ 에서 $r \ll 0$ 로).

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차원 ${\cal N}=(2,2)$ 이론에서 B-브라나에 대한 반구분할 파artition 함수가 그 브라나의 K-이론 클래스에만 의존하는가?
• RQ2 초대칭 국소화가 중심 전하의 정확한 계산을 가능하게 하여 이전에 대역면적 근사에서만 알려진 이상 흡수 공식을 완성하는가?
• RQ3 2차원 ${\cal N}=(2,2)$ 이론에서 도메인 월을 제품 이론의 D-브라나로 체계적으로 구성할 수 있는가?
• RQ4 이러한 2차원 이론에서 도메인 월을 통해 $sl(2)$ 보편 히브 대칭을 실현할 수 있는가?
• RQ5 비틀린 질량과 $G_{\text{F}}$-등변성은 반구분할 파artition 함수의 구조와 그 해석적 계속성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 반구분할 파artition 함수 $Z_{\text{hem}}({\cal B})$ 는 브라나의 K-이론 클래스에만 의존하며, 타치온 응집에 따른 중심 전하의 위상수학적 불변성을 확인한다.
• 정확한 파artition 함수는 D-브라나의 중심 전하를 계산하며, 이는 이전에 대역면적 근사에서만 알려진 이상 흡수 공식을 완성한다.
• $\mathbb{P}^1$ 브라나 $i_*\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}$ 에 대해 $r \gg 0$ 단계에서 파artition 함수는 $t$, $m_f$, 및 $\tilde{m}_f$ 에 대한 지수항과 $\Gamma$-함수를 포함하는 경로 적분으로 주어지며, 수렴 조건은 $\text{Re}(t) > 0$ 이다.
• $r \ll 0$ 단계에서 $i_*\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(2)[1]$ 의 파artition 함수는 초함수 ${}_2F_1$ 과 잔여합으로 표현되며, $e^t$ 와 $\Gamma$-비율에 명시적인 의존성이 있다.
• 단계 간 해석적 계속은 두 브라나의 매핑 콘스 구조를 통해 달성되며, 문제적 항목을 제거하고 $-2\pi < \theta < 0$ 에서 수렴하는 적분을 얻는다. 이는 알려진 연결 공식과 일치한다.
• 이 구성은 파artition 함수가 $\Gamma$-함수 적분과 단일성 성질을 통해 대수적 관계를 코딩함으로써 도메인 월을 통해 $sl(2)$ 보편 히브 대칭을 실현한다.