[논문 리뷰] Examples of asymptotically conical Ricci-flat K\

Craig van Coevering|arXiv (Cornell University)|2008. 12. 30.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 34인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 모든 3차원 Gorenstein 토릭 켈러 원뿔이 모든 켈러 클래스에서 완전한 리치-평탄한 켈러 메트릭을 지닌 착각적 해소를 가짐을 증명함으로써, 점 渐차적으로 원뿔 모양인 리치-평탄한 켈러 다양체의 무한한 새로운 예를 구성한다. 또한, 서로 다른 위상적 불변량을 지닌 두 가닥의 초표면 특이점 가닥을 제공하여, b₃(Y) = 0 또는 b₃(Y) > 0인 예를 얻는다.

ABSTRACT

The author has proved that a crepant resolution Y of a Ricci-flat K\{a}hler cone X admits a complete Ricci-flat K\{a}hler metric asymptotic to the cone metric in every K\{a}hler class in H^2_c(Y,\R). These manifolds are generalizations of the Ricci-flat ALE K\{a}hler spaces known by the work of P. Kronheimer, D. Joyce and others. This article considers further the problem of constructing examples. We show that every 3-dimensional Gorenstein toric K\{a}hler cone admits a crepant resolution for which the above theorem applies. This gives infinitely many examples of asymptotically conical Ricci-flat manifolds. Then other examples are given of which are crepant resolutions hypersurface singularities which are known to admit Ricci-flat K\{a}hler cone metrics by the work of C. Boyer, K. Galicki, J. Koll\'{a}r, and others. Two families of hypersurface examples are given which are distinguished by the condition b_3(Y)=0 or b_3(Y)>0.

연구 동기 및 목표

• 기존의 ALE 공간을 초월하여 점 渐차적으로 원뿔 모양인 다양체로 리치-평탄한 켈러 메트릭의 구성 방식을 확장하기.
• 착각적 해소가 완전한 리치-평탄한 켈러 메트릭을 지닌 광범위한 특이점의 클래스를 식별하기.
• 특히 b₃(Y)에 따라 구분되는 제어된 위상을 지닌 이러한 다양체의 명시적 무한 가닥을 제공하기.
• 기존의 착각적 해소에 대한 리치-평탄한 메트릭 결과를 점 渐차적으로 원뿔 모양의 설정으로 일반화하기.

제안 방법

• 모든 3차원 Gorenstein 토릭 켈러 원뿔이 모든 켈러 클래스에서 완전한 리치-평탄한 켈러 메트릭을 지닌 착각적 해소를 가짐을 증명하기.
• 리치-평탄한 켈러 원뿔의 착각적 해소에 대한 리치-평탄한 켈러 메트릭 존재 정리의 일반적 적용.
• 토릭 기하학과 Gorenstein 토릭 특이점의 분류를 사용하여 명시적 예를 구성하기.
• 특히 세 번째 베티 수 b₃(Y)에 중점을 두어 해소의 위상을 분석하여 두 가닥을 구분하기.
• Boyer, Galicki, Kollár 등이 확립한 바에 따르면, 초표면 특이점은 리치-평탄한 켈러 원뿔 메트릭을 지닐 수 있음.
• b₃(Y)의 값에 따라 예를 구분하여 두 가지 다른 가닥을 도출: 하나는 b₃(Y) = 0이고, 다른 하나는 b₃(Y) > 0이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 특이점의 클래스가 원뿔 메트릭에 점 渐차적으로 수렴하는 완전한 리치-평탄한 켈러 메트릭을 지닌 착각적 해소를 가질 수 있는가?
• RQ2 모든 3차원 Gorenstein 토릭 켈러 원뿔에 대해 이러한 메트릭의 존재가 보장될 수 있는가?
• RQ3 b₃(Y)와 같은 위상적 불변량은 점 渐차적으로 원뿔 모양인 리치-평탄한 켈러 다양체의 서로 다른 가닥을 어떻게 구분하는가?
• RQ4 해소의 위상적 성질은 원래 원뿔의 기하학과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 제어된 베티 수를 지닌 이러한 다양체의 무한 가닥에 대해 명시적 구성이 가능할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 3차원 Gorenstein 토릭 켈러 원뿔은 모든 켈러 클래스에서 완전한 리치-평탄한 켈러 메트릭을 지닌 착각적 해소를 가짐.
• 이 방법을 통해 점 渐차적으로 원뿔 모양인 리치-평탄한 켈러 다양체의 무한한 새로운 예가 구성됨.
• 두 가지 서로 다른 초표면 특이점 가닥이 b₃(Y) = 0 및 b₃(Y) > 0인 착각적 해소를 제공함.
• 기존의 ALE 공간에 대한 결과를 점 渐차적으로 원뿔 모양의 설정으로 일반화함.
• 특히 b₃(Y)에 중점을 두어 해소의 위상이 결과로 얻어지는 리치-평탄한 다양체를 분류하는 데 핵심적인 불변량이 됨.
• 리치-평탄한 켈러 원뿔 메트릭을 지닐 수 있는 것으로 알려진 특이점의 착각적 해소에 리치-평탄한 메트릭이 존재함을 확인함.