[논문 리뷰] Asymptotically conical Calabi-Yau metrics on quasi-projective varieties

Ronan J. Conlon, Hans‐Joachim Hein|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 22.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 50인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $X \setminus D$ 위에 존재하는 점점 원뿔 형태로 수렴하는 칼라비-유우 메트릭의 존재성과 유일성을 확립한다. 여기서 $X$는 컴acts Kähler 오르비포인트이고 $D$는 $-pK_X = q[D]$ 이며 $q > p$ 를 만족하는 팔란 서오르비포인트 부분다양체이다. $D$가 Kähler-Einstein일 경우, $X \setminus D$의 각 Kähler 클래스는 무한대에서 원뿔 메트릭으로 수렴하는 유일한 리치-평탄한 Kähler 메트릭을 갖는다. 수렴 속도는 $O(r^{-1-\varepsilon})$ 이며, 이는 비-Kähler-Einstein 케이스에 대해서는 비정규 Sasaki-Einstein 구조를 사용하여 $O(r^{-0.0128})$ 수준의 수렴 속도로 확장된다. 이는 비정규 접선 원뿔과 유클리드 체적 성장률을 갖는 아핀 칼라비-유우 다양체의 첫 번째 예를 제공한다.

ABSTRACT

Let X be a compact Kahler orbifold without \C-codimension-1 singularities. Let D be a suborbifold divisor in X such that D \supset Sing(X) and -pK_X = q[D] for some p, q \in \N with q > p. Assume that D is Fano. We prove the following two main results. (1) If D is Kahler-Einstein, then, applying results from our previous paper, we show that each Kahler class on X\D contains a unique asymptotically conical Ricci-flat Kahler metric, converging to its tangent cone at infinity at a rate of O(r^{-1-ε}) if X is smooth. This provides a definitive version of a theorem of Tian and Yau. (2) We introduce new methods to prove an analogous statement (with rate O(r^{-0.0128})) when X = Bl_{p}P^3 and D = Bl_{p_1,p_2}P^2 is the strict transform of a smooth quadric through p in P^3. Here D is no longer Kahler-Einstein, but the normal S^1-bundle to D in X admits an irregular Sasaki-Einstein structure which is compatible with its canonical CR structure. This provides the first example of an affine Calabi-Yau manifold of Euclidean volume growth with irregular tangent cone at infinity.

연구 동기 및 목표

• quasi-projective 다양체 $X \setminus D$ 위에 존재하는 완전한 리치-평탄한 Kähler 메트릭의 존재성에 관한 티안-요우 정리의 일반화 및 최적화를 목적으로 한다.
• 무한대에서 곡률과 메트릭의 수렴에 대한 날카운 수렴 속도를 확립한다.
• 정규화되지 않은 Sasaki-Einstein 구조를 이용하여 $D$가 Kähler-Einstein이 아닐 경우에도 새로운 종류의 칼라비-유우 메트릭을 구성한다.
• 유클리드 체적 성장률과 함께 무한대에서 비정규 접선 원뿔을 갖는 아핀 칼라비-유우 다양체의 첫 번째 예를 제공한다.
• 오르비포인트와 대수기하학 기법을 활용하여 이전의 점점 원뿔 형태로 수렴하는 칼라비-유우 메트릭 결과들을 통합하고 확장한다.

제안 방법

• 접합 등식 $N_D^{q-p} \cong K_D^{-p}$ 를 통한 선다발 $K_D^{-p}$ 의 전체공간 위에 모델 리치-평탄한 Kähler 원뿔 메트릭을 구성하기 위해 칼라비 추측을 사용한다.
• 지오데식 지도 $\exp: N_D \to X$ 를 적용하여 원뿔 메트릭을 $X$ 내의 $D$ 근처로 당겨와 점점 수렴 분석을 가능하게 한다.
• 연속성 방법과 가중치 Sobolev 추정을 통해 $X \setminus D$ 위의 각 Kähler 클래스에서 리치-평탄한 Kähler 메트릭의 존재성과 유일성을 증명한다.
• 특히, $D$ 의 단위 정규다발 위에 존재하는 비정규 Sasaki-Einstein 구조를 활용하여 비-Kähler-Einstein 케이스를 다루기 위한 새로운 기하 기법을 도입한다.
• 명시적 좌표 차트와 유리형 부피 형식을 사용하여 $X \setminus \{p_9\}$ 위에서 전역 해석적 구조와 캐논리컬 번들의 자명성 검증.
• 가중치 $L^2$ 추정과 곡률 및 메트릭 차이에 대한 수렴 추정을 통해 메트릭의 점점 수렴 행동을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 티안-요우 정리에서 점점 원뿔 형태로 수렴하는 칼라비-유우 메트릭의 존재성을 곡률과 메트릭 수렴의 날카운 수렴 속도로 강화할 수 있는가?
• RQ2 D가 Kähler-Einstein이 아니지만 비정규 Sasaki-Einstein 구조를 갖는다면, $X \setminus D$ 위의 칼라비-유우 메트릭의 점점 수렴 기하학적 성질은 어떻게 변화하는가?
• RQ3 무한대에서 비정규 접선 원뿔과 유클리드 체적 성장률을 갖는 칼라비-유우 메트릭을 비정형 다양체 위에 구성할 수 있는가?
• RQ4 D 위에 Kähler-Einstein 메트릭이 존재할 경우, $X \setminus D$ 위의 리치-평탄한 메트릭의 점점 수렴 행동은 어떻게 영향을 받는가?
• RQ5 X의 오르비포인트 구조와 부분다양체 오르비포인트 $D$ 는 이러한 메트릭의 존재성과 유일성에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• D가 Kähler-Einstein이고 X가 매끄럽다면, $X \setminus D$ 위의 각 Kähler 클래스는 무한대에서 접선 원뿔로 수렴하는 유일한 리치-평탄한 Kähler 메트릭 $\omega_c$ 를 갖는다. 이 수렴 속도는 $O(r^{-1-\varepsilon})$ 이다.
• 메트릭 $\omega_c$ 는 임의의 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $|\nabla^{k}_{g_0}(\exp^*(g_c) - c g_0)|_{g_0} \leq C(k) r^{-\lambda - k}$ 를 만족하며, $\lambda = \min\{2 - \varepsilon, \frac{n}{\alpha - 1}\}$ 이고 $\alpha = q/p > 1$ 이다.
• X = $\mathrm{Bl}_p \mathbb{P}^3$ 이고 $D = \mathrm{Bl}_{p_1,p_2} \mathbb{P}^2$ 가 $p$ 를 통과하는 매끄러운 이차곡면의 엄격 전이일 경우, $D$ 가 Kähler-Einstein이 아니더라도 메트릭이 존재하며 수렴 속도는 $O(r^{-0.0128})$ 이다.
• D의 정규 $\mathbb{S}^1$-다발은 그 캐논리컬 CR 기하학과 호환되는 비정규 Sasaki-Einstein 구조를 갖는다. 이는 비-Kähler-Einstein 케이스에서의 구성 가능성을 보장한다.
• 이 구성은 유클리드 체적 성장률과 함께 무한대에서 비정규 접선 원뿔을 갖는 아핀 칼라비-유우 다양체의 첫 번째 알려진 예를 제공한다.
• 메트릭 $\omega_c$ 는 Kähler 클래스와 모델 원뿔 메트릭을 보존하는 $(X,D)$ 의 자동형사상에 대해 불변이며, 모든 $t > 0$ 에 대해 $\omega_{tc,t\mathfrak{k}} = t \omega_{c,\mathfrak{k}}$ 를 만족한다.