[논문 리뷰] Existence and concentration of solution for a class of fractional elliptic equation in $\mathbb{R}^N$ via penalization method

Claudianor O. Alves, Olı́mpio H. Miyagaki|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 17.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 18인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $ℝ^N$ 내에서 분수 라플라스 연산자를 포함하는 분수 타원형 방정식에 대한 양의 해의 존재성과 집중성을 증명한다. 잠재력 $V(z)$가 국소 최솟값을 가질 경우를 다루기 위해 페널티 방법을 사용한다. 비선형성의 수정과 베셀 커널 성질을 이용한 팔라이스-스무스 조건의 증명을 통해, 매개수 $ϵ \to 0$ 일 때 해가 $V$의 최솟값 지점에 집중됨을 보이며, 비선형성 $f$에 대해 초임계 성장과 암브로세티-라비노비츠 유형 조건을 가정한다. 주요 기여는 국소적인 라플라스 경우에 사용된 델 피노-펠머의 페널티 접근법을 엄밀한 컴acts 및 수렴성 논증을 동반하여 비국소적인 분수 설정으로 확장한 것이다.

ABSTRACT

In this paper, we study the existence and concentration of positive solution for the following class of fractional elliptic equation $$ ε^{2s} (-Δ)^{s}{u}+V(z)u=f(u)\,\,\, \mbox{in} \,\,\, \mathbb{R}^{N}, $$ where $ε$ is a positive parameter, $f$ has a subcritical growth, $V$ possesses a local minimum, $N > 2s,$ $s \in (0,1),$ and $ (-Δ)^{s}u$ is the fractional laplacian.

연구 동기 및 목표

• 소수의 섭동 매개수 $\epsilon$ 를 가진 분수 타원형 방정식의 양의 해 존재성을 확립하는 것.
• 매개수 $\epsilon \to 0$ 일 때 잠재력 $V(z)$ 의 국소 최솟값 지점 근처에서 해의 집중 행동을 분석하는 것.
• 이전에 국소 라플라스 경우에서 사용된 페널티 방법을 비국소적인 분수 라플라스 설정으로 확장하는 것.
• 비국소적 맥락에서 팔라이스-스무스 조건과 원래 문제의 해 복원을 증명하는 데 발생하는 분석적 과제를 극복하는 것.

제안 방법

• 비선형성 $f(u)$ 를 수정하여 트렁케이션 구조를 가진 보조 문제를 만들기 위해 페널티 방법을 적용한다.
• 보조 문제와 관련된 에너지 함수를 분수 스오보레프 공간 $H^s(\mathbb{R}^N)$ 내에서 변분 방법을 사용하여 분석한다.
• 기존 국소 경우 기법의 한계를 극복하기 위해 에너지 함수의 팔라이스-스무스 조건을 증명하기 위한 새로운 접근법을 개발한다.
• 해의 감쇠를 제어하고 소규모 $\epsilon$ 에서 보조 문제의 해가 원래 방정식을 만족하도록 하기 위해 베셀 커널의 성질을 활용한다.
• 변수 교체 $u_\epsilon(x) = v_\epsilon(x/\epsilon, 0)$ 를 통해 페널티 문제의 해를 원래 방정식의 해와 연결한다.
• 해의 최댓값 지점이 $V(x_\epsilon) \to V_0$ 를 만족함을 보여, 집중 현상을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소수 매개수 $\epsilon > 0$ 가 작을 때, $\mathbb{R}^N$ 내에서 분수 타원형 방정식 $\epsilon^{2s}(-\Delta)^s u + V(z)u = f(u)$ 에 양의 해가 존재하는가?
• RQ2 매개수 $\epsilon \to 0$ 일 때, 해가 잠재력 $V(z)$ 의 국소 최솟값 지점에 집중되는가?
• RQ3 이전에 국소 경우에서 사용된 페널티 방법이 비국소적인 분수 라플라스 설정에 적응 가능한가?
• RQ4 비국소적 경우에서 팔라이스-스무스 조건과 해 복원을 증명하기 위해 어떤 새로운 분석 도구가 필요한가?

주요 결과

• 모든 $\epsilon \in (0, \epsilon_0)$ 에 대해 $\epsilon_0 > 0$ 가 존재하여 문제 $(P_\epsilon)$ 가 $H^s(\mathbb{R}^N)$ 내에 양의 해 $u_\epsilon$ 를 가진다.
• 해의 전역 최댓값 지점 $x_\epsilon$ 는 $\lim_{\epsilon \to 0} V(x_\epsilon) = V_0$ 를 만족하며, 여기서 $V_0 = \inf_{z \in \Lambda} V(z)$ 이고 $\Lambda$ 는 $V_0 < \min_{\partial\Lambda} V(z)$ 를 만족하는 유계 집합이다.
• 매개수 $\epsilon \to 0$ 일 때 해 $u_\epsilon$ 는 $V(z)$ 의 국소 최솟값 지점에 집중되며, 이는 국소 경우와 유사한 집중 현상을 확인한다.
• 비국소적 맥락에서 에너지 함수의 팔라이스-스무스 조건을 증명하기 위한 새로운 증명 기법이 개발되었으며, 이는 기존 국소 경우의 기법과 다름을 보인다.
• 베셀 커널의 성질로부터 유도된 감쇠 추정을 사용하여, 충분히 작은 $\epsilon$ 에서 페널티 문제의 해가 원래 문제를 만족함을 보였다.
• 비선형성 $f$ 는 암브로세티-라비노비츠 조건 ($\theta F(t) \leq f(t)t$ for $\theta > 2$) 을 만족하며, $t > 0$ 에서 증가함을 보장하여 변분 방법에 필요한 성장성과 볼록성을 확보한다.