[논문 리뷰] Existence and multiplicity results for Brezis-Nirenberg type fractional Choquard equation

Tuhina Mukherjee, K. Sreenadh|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 22.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 21인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 분수 라플라스 연산자와 하디-리틀우드-소볼레프 임계 비선형성을 포함하는 분수 콘차르 방정식의 해의 존재성과 다중성을 조사한다. 변분 방법을 사용하여 특정 매개변수 영역에서 비자명한 해의 존재를 확립하며, 특히 매개변수 λ가 임계 임계값 이하일 경우에 초점을 맞춘다.

ABSTRACT

In this article, we study the Brezis-Nirenberg type problem of nonlinear Choquard equation involving a fractional Laplacian \[ (-\De)^s u = \left( \int_{\Om}\frac{|u|^{2^*_{\mu,s}}}{|x-y|^{\mu}}\mathrm{d}y ight)|u|^{2^*_{\mu,s}-2}u +\la u \; ext{in } \Om,\] where $\Om $ is a bounded domain in $\mathbb R^n$ with $C^{1,1}$ boundary, $\la $ is a real parameter, $s \in (0,1)$, $n >2s$ and $2^*_{\mu,s}= (2n-\mu)/(n-2s)$ is the critical exponent in the sense of Hardy-Littlewood-Sobolev inequality. We obtain some existence and multiplicity results for solution of the above equation using variational methods.

연구 동기 및 목표

• 경계가 C^{1,1}인 유계 영역에서 분수 라플라스 연산자를 포함하는 비선형 콘차르 방정식의 브레지스-니레버그 유형 문제를 연구한다.
• 해의 존재성과 다중성에 영향을 미치는 매개변수 λ의 역할을 분석한다.
• 하디-리틀우드-소볼레프 부등식에서 유래된 임계 지수 $2^*_{\rho,s} = (2n - \mu)/(n - 2s)$의 역할을 다룬다.
• 특이하고 비국소적인 적분 비선형성을 포함하는 분수 비국소 설정에 변분 방법을 확장한다.
• 비자명한 해가 존재하고 다중성이 성립하는 조건을 확립한다.

제안 방법

• 약한 해를 분석하기 위해 특히 임계점 이론을 활용한 변분 방법을 사용한다.
• 분수 라플라스 연산자에 대한 영역 조건을 만족하는 자연스러운 공간인 $H^s_0(\Omega)$에서 작업한다.
• 비국소 항 $\int_{\Omega} \frac{|u|^{2^*_{\mu,s}}}{|x-y|^\mu} dy$의 잘 정의됨을 보장하기 위해 하디-리틀우드-소볼레프 부등식을 사용한다.
• 임계 지수 경우에서의 컴팩턴스 부족을 극복하기 위해 집중-콤팩트니스 원리와 컴팩트 임베딩을 적용한다.
• 방정식과 관련된 에너지 함수를 분석하고, 마운틴 패스 보조정리 또는 기타 변분 도구를 통해 임계점의 존재를 증명한다.
• 매개변수 $\lambda$가 특정 임계값 이하일 경우 최소한 하나의 비자명한 해가 존재하며, 추가적인 기하학적 또는 대칭 조건이 만족될 경우 다중 해가 존재함을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수 콘차르 방정식이 브레지스-니레버그 유형 비선형성을 갖는 조건에서 최소한 하나의 비자명한 해를 가질 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 임계 지수 영역에서 매개변수 $\lambda$는 해의 존재성과 다중성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 분수 차수 $s \in (0,1)$는 방정식의 해법 가능성에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 하디-리틀우드-소볼레프 적분을 포함하는 이 비국소적 비선형성에 대해 변분 방법을 성공적으로 적용할 수 있는가?
• RQ5 분수 라플라스 연산자의 첫 번째 고유값 이하인 특정 범위 내에 $\lambda$가 존재할 경우 다중 해가 존재하는가?

주요 결과

• 매개변수 $\lambda$가 특정 임계값 이하일 경우 분수 콘차르 방정식에 비자명한 약한 해가 존재한다.
• 임계 지수 $2^*_{\mu,s} = (2n - \mu)/(n - 2s)$는 하디-리틀우드-소볼레프 부등식에서 자연스럽게 유도되며, 비선형성의 성장률을 결정한다.
• 비국소적인 콘차르 항을 고려할 때도 변분 방법의 활용으로 존재성 결과를 증명할 수 있었다.
• 경계가 $C^{1,1}$인 유계 영역 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$는 분석에 필요한 충분한 정규성을 보장한다.
• 특정 조건 하에서, 특히 $\lambda$가 $(-\Delta)^s$의 첫 번째 고유값 이하일 경우 해 집합은 다중성을 보인다.
• 기존의 브레지스-니레버그 결과는 콘볼루션 형식의 비선형성을 포함하는 분수 및 비국소 설정으로 확장된다.