[논문 리뷰] Existence and qualitative analysis for nonlinear weighted Choquard equations

Lele Du, Fashun Gao외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 28.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 40인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{R}^N$에서 비선형 가중 치르카르드 방정식의 양해를 위한 존재성, 정칙성 및 대칭성을 규명한다. 비국소 비선형성의 임계 및 초임계 경우에 대해, 샤르츠 대칭화, 비국소 농축-콤���트성 원리, 그리고 이동 평면 방법의 적분형을 사용하여, 가중 하디-리틀우드-소볼레프 부등식에서 유도된 최적의 지수 조건 하에서 기저 상태 해의 존재성과 양해의 대칭성을 증명한다.

ABSTRACT

The aim of this paper is to classify the solutions of the critical nonlocal equation with weighted nonlocal term $$-\Delta u =\frac{1}{|x|^{\alpha}}\left(\int_{\mathbb{R}^{N}}\frac{|u(y)|^{2_{\alpha,\mu}^{\ast}}} {|x-y|^{\mu}|y|^{\alpha}}dy ight)|u|^{2_{\alpha,\mu}^{\ast}-2}u\hspace{4.14mm}\mbox{in}\hspace{1.14mm} \mathbb{R}^{N} $$ and the subcritical case of the form $$-\Delta u+u =\frac{1}{|x|^{\alpha}}\left(\int_{\mathbb{R}^{N}}\frac{|u(y)|^{p}} {|x-y|^{\mu}|y|^{\alpha}}dy ight)|u|^{p-2}u\hspace{4.14mm}\mbox{in}\hspace{1.14mm} \mathbb{R}^{N}. $$ where $N\geq3$, $0<\mu<N$, $\alpha\geq0$, $2\alpha+\mu\leq N$ and $2-\frac{2\alpha+\mu}{N}< p<2_{\alpha,\mu}^{\ast}$ with $2_{\alpha,\mu}^{\ast}=(2N-2\alpha-\mu)/(N-2)$. The critical exponent $2_{\alpha,\mu}^{\ast}$ is due to the weighted Hardy-Littlewood-Sobolev inequality and Sobolev imbedding. We prove the existence of positive ground state solutions for the subcritical case by using Schwarz symmetrization and the critical case by a nonlocal version of concentration-compactness principle. We also establish the regularity of positive solutions for these two equations . Finally, we prove the symmetry of positive solutions by the moving plane method in integral forms.

연구 동기 및 목표

• 비국소 상호작용을 가진 임계 및 초임계 가중 치르카르드 방정식의 해를 분류하는 것.
• 대칭화 기법을 사용하여 초임계 경우에서 양기저 상태 해의 존재성을 확립하는 것.
• 임계 경우에 대한 비국소 설정으로 농축-콤팩트성 원리를 확장하는 것.
• 일반적인 매개변수 제약 조건 하에서 양해의 정칙성을 확보하는 것.
• 적분형 이동 평면 방법을 통해 가중 치르카르드 방정식의 양해의 대칭성을 확립하는 것.

제안 방법

• 비국소 문제를 원형 대칭 문제로 줄이기 위해 샤르츠 대칭화를 적용하여 존재성 증명을 보조한다.
• 임계 지수 경우를 다루기 위해 농축-콤팩트성 원리의 비국소 버전을 사용한다.
• 양해의 대칭성을 증명하기 위해 이동 평면 방법의 적분형을 활용한다.
• 가중 하디-리틀우드-소볼레프 부등식에서 유도된 조건 $2 - \frac{2\alpha + \mu}{N} < p < 2_{\alpha,\mu}^*$ 하에서 방정식을 분석한다. 여기서 $2_{\alpha,\mu}^* = \frac{2N - 2\alpha - \mu}{N-2}$이다.
• 비국소 항을 제어하기 위해 소볼레프 포함 정리와 가중 부등식에 의존한다.
• 임계 경우 $-\Delta u = \frac{1}{|x|^\alpha} \left( \int_{\mathbb{R}^N} \frac{|u(y)|^{2_{\alpha,\mu}^*}}{|x-y|^\mu |y|^\alpha} dy \right) |u|^{2_{\alpha,\mu}^*-2} u$와 저차항을 포함한 초임계 경우를 모두 고려한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가중 치르카르드 방정식의 임계 비국소 항을 갖는 경우, 양기저 상태 해가 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 임계 경우에서 비국소적이고 가중된 방정식을 다룰 수 있도록 농축-콤팩트성 원리를 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ3 이러한 가중 치르카르드 방정식의 양해는 어떤 정칙성 성질을 갖는가?
• RQ4 가중 치르카르드 방정식의 양해는 대칭적인가, 만약 그렇다면 어떤 조건 하에서인가?
• RQ5 매개변수 $\alpha$, $\mu$, $p$는 해의 존재성과 대칭성에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 논문은 샤르츠 대칭화와 변분 방법을 사용하여 초임계 가중 치르카르드 방정식의 양기저 상태 해의 존재성을 증명한다.
• 비국소 농축-콤팩트성 원리가 개발되어 임계 경우의 해 존재성을 확립하는 데 응용된다.
• 모든 양해가 매끄럽고 $L^\infty(\mathbb{R}^N)$에 속함을 보여, 정칙성이 확인된다.
• 적분형 이동 평면 방법을 통해 양해의 대칭성이 확립되어, $|x|$에 대해 원형 대칭이고 엄격히 감소함을 증명한다.
• 해의 존재성을 위한 날카운 경계로 임계 지수 $2_{\alpha,\mu}^* = \frac{2N - 2\alpha - \mu}{N-2}$가 식별된다.
• 결과는 $N \geq 3$, $0 < \mu < N$, $\alpha \geq 0$, $2\alpha + \mu \leq N$ 조건 하에서 최적 조건 $2 - \frac{2\alpha + \mu}{N} < p < 2_{\alpha,\mu}^*$를 만족할 때 성립한다.