[논문 리뷰] Existence and regularity of Faber Krahn minimizers in a Riemannian manifold

Jimmy Lamboley, Pieralberto Sicbaldi|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 18.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 59인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 고정된 부피 조건 하에서 라플라스-베르트라미 연산자의 첫 번째 딜리클레 고유값을 최소화하는 도메인, 즉 Faber-Krahn 최소화자들이 리만다이프만에서 존재하고 정칙성을 가짐을 확립한다. 컴팩트 다이퍼만에서의 존재성을 증명하고, 비콤팩트 환경에서는 반례를 제시하며, 최소화자의 경계가 하우스도르프 여차원 5 이상의 특이점 집합을 제외하고는 매끄럽다는 것을 보이며, 자유 경계 정규성 이론과 붕괴 분석을 통해 이를 도출한다.

ABSTRACT

In this paper, we study the minimization of $\\lambda_{1}(\\Omega)$, the first Dirichlet eigenvalue of the Laplace-Beltrami operator, within the class of open sets $\\Omega$ of fixed volume in a Riemmanian manifold $(M,g)$. In the Euclidian setting (when $(M,g)=(\\mathbb{R}^n,e)$), the well-known Faber-Krahn inequality asserts that the solution of such problem is any ball of suitable volume. Even if similar results are known or may be expected for Riemannian manifolds with symmetries, we cannot expect to find explicit solutions for general manifolds $(M,g)$. In this paper we study existence and regularity properties for this spectral shape optimization problem in a Riemannian setting, in a similar fashion as for the isoperimetric problem. We first give an existence result in the context of compact Riemannian manifolds, and we discuss the case of non-compact manifolds by giving a counter-example to existence. We then focus on the regularity theory for this problem, and using the tools coming from the theory of free boundary problems, we show that solutions are smooth up to a possible residual set of co-dimension 5 or higher.

연구 동기 및 목표

• 컴팩트 리만다이프만에서 첫 번째 딜리클레 고유값에 대한 Faber-Krahn 최소화자의 존재성을 확립하기.
• 비콤팩트 리만다이프만에서 이러한 최소화자가 존재하는지 조사하며, 일반적으로 존재하지 않을 수 있음을 보여주는 반례를 제시하기.
• Faber-Krahn 최소화자의 경계의 정규성, 특히 특이점 집합의 구조를 분석하기.
• 등면적 문제와 자유 경계 이론의 기법들을 다이퍼만에서의 스펙트럼 형상 최적화에 확장하기.
• 기하학적 및 스펙트럼적 성질과 연결된 부피에 대한 Faber-Krahn 프로파일을 특성화하기.

제안 방법

• 컴팩트 리만다이프만에서 최소화자의 존재성을 증명하기 위해 변분법의 직접적 방법을 사용하기.
• 고유값 문제 $-\Delta_g u = \lambda_1 u$ 에 대해 볼록해와 타원형 정규성 이론을 $\Omega^*$ 내부에서 $u=0$ 이며 $\partial\Omega^*$ 에서 성립하도록 적용하기.
• 앨트-카프레리 유형 문제의 자유 경계 정규성 결과를 가중 발산형 방정식을 통해 리만다이프만 설정으로 일반화하기.
• 특이점 집합의 구조를 연구하기 위해 붕괴 분석과 단조성 공식을 활용하기.
• 하우스도르프 여차원이 최소 5 이상임을 보이기 위해 Weiss의 단조성 및 조밀도 갭 기법을 적용하기.
• 붕괴 분석에서 특이점 근처의 구조를 분석하고 특이점 집합의 차원에 대한 경계를 유도하기 위해 Federer–Fleming 및 Weiss의 축소 원리 사용하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 컴팩트 리만다이프만에서 첫 번째 딜리클레 고유값에 대한 Faber-Krahn 최소화자가 존재하는가?
• RQ2 비콤팩트 리만다이프만에서 Faber-Krahn 최소화자의 존재가 보장될 수 있는가?
• RQ3 일반 리만다이프만에서 Faber-Krahn 최소화자의 경계는 어떤 정규성을 가지는가?
• RQ4 하우스도르프 차원 기준으로 경계의 특이점 집합은 어느 정도의 크기를 가질 수 있는가?
• RQ5 등면적 문제의 기법들이 다이퍼만에서의 스펙트럼 형상 최적화에 어느 정도 적응될 수 있는가?

주요 결과

• $(M,g)$ 가 컴팩트 리만다이프만일 경우, 임의의 고정된 부피 $m \in (0, \mathrm{Vol}_g(M))$ 에 대해 Faber-Krahn 최소화자가 존재한다.
• 비콤팩트 리만다이프만에서 Faber-Krahn 최소화자가 존재하지 않을 수 있음을 보여주는 반례를 구성하였다.
• 모든 Faber-Krahn 최소화자의 경계는 하우스도르프 여차원이 최소 5 이상인 닫힌 특이점 집합을 제외하고는 $C^{1,\alpha}$ 정규성을 가진다.
• $n$ 차원 다이퍼만에서 경계의 특이점 집합은 하우스도르프 차원이 최대 $n-5$ 이하이다.
• 정규성 결과는 붕괴 분석과 자유 경계 이론에서 유래된 단조성 및 조밀도 갭 기법의 적용을 통해 도출되었다.
• Faber-Krahn 프로파일 $FK(m)$ 은 $(0, \mathrm{Vol}_g(M))$ 에서 잘 정의되며 하향 연속성을 가지며, 최소화자의 첫 번째 고유값과 일치한다.