[논문 리뷰] Existence and regularity of positive solutions of quasilinear elliptic problems with singular semilinear term

J.V. Gonçalves, Marcos L. M. Carvalho외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 24.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 25인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $Φ$-라플라스 연산자를 포함하는 비선형 항이 특이성을 가진 비선형 타원형 문제에 대한 양의 해의 존재성과 $L^∞$-정칙성을 확립한다. 오르리츠-소볼레프 공간 내에서 일반화된 갈레르킨 방법과 모저 반복 기법을 사용하여, 가중치 $a(x)$에 대한 적분 조건 하에서 해의 존재성을 증명하고, N-함수 $Φ$의 급격한 성장 추정을 통해 해의 유계성을 확보한다. 본 결과는 기존의 $p$-라플라스나 라플라스 문제에 국한되었던 고전적 특이 문제를 더 넓은 비선형 연산자 클래스로 확장한다.

ABSTRACT

This paper deals with existence and regularity of positive solutions of singular elliptic problems on a smooth bounded domain with Dirichlet boundary conditions involving the $Φ$-Laplacian operator. The proof of existence is based on a variant of the generalized Galerkin method that we developed inspired on ideas by Browder and a comparison principle. By using a kind of Moser iteration scheme we show $L^{\infty}(Ω)$-regularity for positive solutions

연구 동기 및 목표

• 비선형 항이 특이성을 가지며 $Φ$-라플라스 연산자를 포함하는 비선형 타원형 방정식에 대한 양의 약한 해의 존재성을 확립하는 것.
• 가중치 함수 $a(x)$에 대한 최소한의 적분 조건 하에서, 이러한 해의 정규성, 특히 $L^∞(\Omega)$ 내에서의 유계성을 조사하는 것.
• 이전에 $p$-라플라스나 라플라스의 경우에 국한되었던 특이 문제에 대한 기존 결과를, 구조 조건 $(φ_1)$--$(φ_3)$를 만족하는 N-함수를 통해 정의된 일반적인 연산자 클래스로 확장하는 것.
• 특이성과 비선형성을 다룰 수 있도록 오르리츠-소볼레프 공간에 적합한 일반화된 갈레르킨 방법의 새로운 변형을 개발하고 적용하는 것.
• 모저 반복 기반의 정규성 분석을 뒷받침하는 오르리츠 공간 내에서의 컴팩트성과 연속성 임베딩 성질을 확보하는 것.

제안 방법

• 브라우더의 접근 방식을 영감으로 받아, $W_0^{1,Φ}(\Omega)$의 유한차원 부분공간에서 근사 해를 구성하기 위한 일반화된 갈레르킨 방법을 개발한다.
• 가중치 $a(x) \in L^1(\Omega)$ 이며, $a d^{-\alpha} \in L_{\widetilde{\Phi}}(\Omega)$ 또는 $0 < \alpha \leq 1$ 이면 $a \in L^{\ell^*/(\ell^*+\alpha-1)}(\Omega)$ 라는 조건 하에서, 비교 원리와 오르리츠-소볼레프 공간 내 약한 수렴 논리에 기반해 해의 존재성을 확립한다.
• 구조 조건 $(\phi_1)$--$(\phi_3)$를 만족하는 함수 $\phi$를 활용하여, 양의 해에 대한 $L^\infty(\Omega)$ 유계성 추정을 도출하기 위해 모저 반복 기법을 적용한다.
• $\Phi$-라플라스 연산자는 $\Delta_\Phi u = \mathrm{div}(\phi(|\nabla u|)\nabla u)$ 로 정의되며, $\Phi(t) = \int_0^t s\phi(s)\,ds$ 이다. 분석은 오르리츠 및 오르리츠-소볼레프 공간의 프레임워크 내에서 수행된다.
• 예를 들어, $\|u\|_\Phi \leq 2d_\Omega \|\nabla u\|_\Phi$ 와 같은 페인카레 유형 부등식이 $W_0^{1,\Phi}(\Omega)$ 내에서 등가 노름을 정의하는 데 사용된다.
• 예를 들어 $\Psi << \Phi_*$ 이면 $W_0^{1,\Phi}(\Omega) \hookrightarrow L_\Psi(\Omega)$ 라는 임베딩 정리가 사용되어 근사 과정에서 수렴성과 컴팩트성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다음의 특이 비선형 타원형 문제 $-\mathrm{div}(\phi(|\nabla u|)\nabla u) = a(x)/u^\alpha$ 에서, $a(x)$와 N-함수 $\Phi$에 어떤 조건이면 $\Omega$ 내에서 양의 약한 해가 존재하는가?
• RQ2 클래식한 모저 반복 기법을 특이 비선형성을 가진 $Φ$-라플라스 연산자에 어떻게 적용하여 해의 $L^\infty$-정규성을 증명할 수 있는가?
• RQ3 오르리츠-소볼레프 공간 내에서 해의 존재성을 보장하기 위해 $a(x)$와 $\phi$에 대해 필요한 최소한의 적분 조건과 성장 조건는 무엇인가?
• RQ4 $\phi$에 대한 구조 조건 $(\phi_1)$--$(\phi_3)$가 해의 정규성과 유계성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 오르리츠 공간과 르베그 공간 간의 임베딩이 갈레르킨 근사에서 요구하는 컴팩트성과 수렴성에 얼마나 기여하는가?

주요 결과

• 가중치 $a \in L^1(\Omega)$ 이며, $a d^{-\alpha} \in L_{\widetilde{\Phi}}(\Omega)$ 또는 $0 < \alpha \leq 1$ 이면 $a \in L^{\ell^*/(\ell^*+\alpha-1)}(\Omega)$ 라는 조건 하에서, 양의 해 $u$가 $W_0^{1,\Phi}(\Omega)$ 내에 존재하며, $u^{(\alpha-1+\ell)/\ell} \in W_0^{1,\ell}(\Omega)$ 이고, 어떤 $C > 0$ 에 대해 거의 모든 $\Omega$ 에서 $u \geq C d(x)$ 를 만족한다.
• 해 $u$ 는 $W^{1,\Phi}_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ 에 속하여 국소적으로 더 높은 적분 가능성과 미분 가능성 보장된다.
• 해 $u$ 는 $L^\infty(\Omega)$ 내에서 유계이며, 이는 함수 $\phi$ 의 성장 조건 $(\phi_1)$--$(\phi_3)$ 를 활용한 모저 반복 기법을 통해 도출된다.
• $\Phi$ 가 $\Delta_2$-조건을 만족할 경우, 오르리츠 공간 내에서 필요한 컴팩트성과 수렴성을 확보하여 $L^\infty$-정규성이 확립된다.
• $W_0^{1,\Phi}(\Omega) \hookrightarrow L_\Phi(\Omega)$ 는 컴팩트하고, $W_0^{1,\Phi}(\Omega) \hookrightarrow L_{\Phi_*}(\Omega)$ 는 연속적이며, 이는 갈레르킨 근사 수렴성에 필수적이다.
• 기존의 $p$-라플라스나 $p(x)$-라플라스 특이 문제에 대한 존재성 및 정규성 결과를 일반화하여, $Φ$-라플라스 연산자에 대한 더 넓은 클래스로 확장하였으며, 예를 들어 $-\Delta_p u - \Delta_q u = a(x)/u^\alpha$ 및 $-\mathrm{div}(a(|\nabla u|^p)|u|^{p-2}\nabla u) = a(x)/u^\alpha$ 와 같은 경우를 포함한다.