[논문 리뷰] Existence for stochastic 2D Euler equations with positive $H^{-1}$ vorticity

Zdzisław Brzeźniak, Mario Maurelli|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 27.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 54인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $H^{-1}$-값을 가지며, 임의의 비음성 초기 비선형도를 갖는 2차원 슈도스토케스틱 오일러 방정식에 대해 약한, 측도값, $H^{-1}$-값의 해가 존재함을 증명한다. 이 결과는 적절한 함수공간 프레임워크 내에서 콤팩트성과 수렴 추론을 통해 약한 확률적 및 해석적 해를 증명함으로써 델로르의 결정론적 존재 정리가 슈도스토케스틱 환경으로 확장됨을 보여준다.

ABSTRACT

We prove the existence of non-negative measure- and $H^{-1}$-valued vorticity solutions to the stochastic 2D Euler equations with transport vorticity noise, starting from any non-negative vortex sheet. This extends the result by Delort (J.Amer.Math.Soc. 1991) to the stochastic case.

연구 동기 및 목표

• 운반형 노이즈를 갖는 2차원 오일러 방정식의 약한 해 존재성을 비선형도 표현식에서 증명하는 것.
• 비음성 $H^{-1}$-비선형도 초기 조건을 갖는 델로르의 결정론적 존재 결과를 슈도스토케스틱 환경으로 확장하는 것.
• 비음성 측도이자 $H^{-1}$에 속하는 초기 비선형도, 특히 비선형도 시트 초기 조건을 다루는 것.
• 토러스 위에서 슈도스토케스틱 비선형도 방정식에 대해 약한 존재성을 확률적 및 해석적 의미에서 모두 증명하는 것.
• 스토케스틱 유체역학의 맥락에서 불규칙한 초기 자료를 다룰 수 있는 프레임워크를 개발하는 것.

제안 방법

• 2차원 토러스 $\mathbb{T}^2$ 상에서 슈도스토케스틱 2차원 오일러 방정식을 운반형 노이즈를 갖는 비선형도 형태로 수립한다.
• 비오-사바르 법칙을 사용하여 비선형도와 특이 커널 $K = \nabla^\perp G$의 커플로션으로서 속도장을 정의한다. 여기서 $G$는 라플라스 연산자의 그린 함수이다.
• 해의 경로별 제어를 위해 $L^\infty_{t,\omega}(\mathcal{M}_x)$, $L^2_{t,\omega}(H^{-1}_x)$, 및 $L^m_\omega(C^\alpha_t(H^{-4}_x))$에서 사전 경계를 확립한다.
• 해의 근사값의 법칙이 $H^{-1}$-값 측도 공간에서 콤팩트성을 보장함으로써 수렴하는 부분수열을 추출한다.
• 약한 수렴과 가측 선택 기법을 사용하여 비선형항 및 슈도스토케스틱 항의 수렴을 증명한다.
• 극한 과정이 슈도스토케스틱 비선형도 방정식을 약한 의미에서 만족함을 확인하며, 슈도스토케스틱 적분 및 비선형 운반항 모두 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초기 비선형도가 $H^{-1}$ 내의 비음성 측도일 경우, 슈도스토케스틱 2차원 오일러 방정식에 대해 약한 해가 존재할 수 있는가?
• RQ2 운반형 노이즈에 의한 슈도스토케스틱 외란이 $H^{-1}$-프레임워크 내에서 측도값 해의 존재성을 유지하는가?
• RQ3 불규칙한 초기 자료를 갖는 슈도스토케스틱 케이스로 델로르의 결정론적 존재 결과를 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ4 스토케스틱 환경에서 근사해의 콤팩트성과 수렴을 보장하기 위해 필요한 사전 경계는 무엇인가?
• RQ5 극한 해가 약한 확률적 및 해석적 의미에서 슈도스토케스틱 비선형도 방정식을 만족함을 어떻게 보일 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 운반형 노이즈를 갖는 슈도스토케스틱 2차원 오일러 방정식에 대해 약한, 측도값, $H^{-1}$-값 해의 존재를 증명한다.
• 해는 비음성 측도이자 $H^{-1}(\mathbb{T}^2)$에 속하는 임의의 초기 비선형도 $\xi_0$를 갖는다. 이는 비선형도 시트 초기 조건을 포함한다.
• 해의 경로 제어를 위해 $L^\infty_{t,\omega}(\mathcal{M}_x)$, $L^2_{t,\omega}(H^{-1}_x)$, 및 $L^m_\omega(C^\alpha_t(H^{-4}_x))$에서 사전 경계가 확립된다.
• 근사해의 법칙이 $H^{-1}$-값 측도 공간에서 콤팩트함을 증명함으로써 수렴하는 부분수열을 추출할 수 있다.
• 극한 과정은 슈도스토케스틱 비선형도 방정식을 약한 의미에서 만족하며, 비선형 운반항과 슈도스토케스틱 적분 모두 수렴한다.
• 결과는 델로르의 결정론적 존재 정리를 슈도스토케스틱 케이스로 확장하며, 확률적 및 해석적 의미에서 모두 약한 존재성을 확립한다.