[논문 리뷰] Existence, Non-existence, Uniqueness of solutions for semilinear elliptic equations involving measures concentrated on boundary

Huyuan Chen, Hichem Hajaiej|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 10.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 25인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 경계에 집중된 측도를 가진 분수형 타원형 방정식에 대해 약한 해의 존재성, 비존재성, 유일성을 보이며, 분수형 법선 도함수의 새로운 분포적 정의를 사용한다. 비감소 함수 $ g $ 가 임계 적분 조건을 만족할 경우 유일성을 증명하고, 지수 $ \frac{N+\alpha}{N-\alpha} $ 의 최적성과 $ \epsilon = -1 $ 인 경우에 대해 샤펜의 고정점 정리에 의한 양의 해 존재성을 보인다.

ABSTRACT

The purpose of this paper is to study the weak solutions of the fractional elliptic problem \begin{equation}\label{000} \begin{array}{lll} (-Δ)^αu+εg(u)=k\frac{\partial^αν}{\partial \vec{n}^α}\quad &{ m in}\quad\ \ \barΩ,\\[3mm] \phantom{(-Δ)^α+εg(u)} u=0\quad &{ m in}\quad\ \ \barΩ^c, \end{array} \end{equation} where $k>0$, $ε=1$ or $-1$, $(-Δ)^α$ with $α\in(0,1)$ is the fractional Laplacian defined in the principle value sense, $Ω$ is a bounded $C^2$ open set in $R^N$ with $N\ge 2$, $ν$ is a bounded Radon measure supported in $\partialΩ$ and $\frac{\partial^αν}{\partial \vec{n}^α}$ is defined in the distribution sense, i.e. $$ \langle\frac{\partial^αν}{\partial \vec{n}^α},ζ angle=\int_{\partialΩ}\frac{\partial^αζ(x)}{\partial \vec{n}_x^α}dν(x), \qquad \forallζ\in C^α(R^N), $$ here $\vec{n}_x$ denotes the unit inward normal vector at $x\in\partialΩ$.

연구 동기 및 목표

• 분수형 라플라스 방정식에 경계 측도가 있을 경우 고전적 경계값 문제의 부정확성 문제를 다루기 위해.
• 시험 함수가 $ C^\alpha(\mathbb{R}^N) $ 에 속할 때, 분수형 법선 도함수 $ \frac{\partial^\alpha \nu}{\partial \vec{n}^\alpha} $ 를 위한 새로운 분포적 프레임워크를 정의하기 위해.
• $ \epsilon = 1 $ 인 경우에 대해 $ g $ 가 임계 적분 조건을 만족할 때 약한 해의 존재성과 유일성을 확립하기 위해.
• 경계에 있는 딜라크 질량 근처에서 해의 점근적 행동과 측도 강도 $ k \to \infty $ 일 때의 극한을 분석하기 위해.
• $ \epsilon = -1 $ 인 경우에 대해 샤펜의 고정점 정리에 의거해 양의 약한 해 존재성을 증명하기 위해, $ g $ 가 이중 적분 조건을 만족할 조건을 찾기 위해.

제안 방법

• 시험 함수 $ \zeta \in C^\alpha(\mathbb{R}^N) $ 에 대해 $ \left\langle \frac{\partial^\alpha \nu}{\partial \vec{n}^\alpha}, \zeta \right\rangle = \int_{\partial\Omega} \frac{\partial^\alpha \zeta(x)}{\partial \vec{n}_x^\alpha} d\nu(x) $ 를 통해 분수형 법선 도함수 $ \frac{\partial^\alpha \nu}{\partial \vec{n}^\alpha} $ 를 분포로 정의한다.
• 모든 $ \xi \in \mathbb{X}_\alpha $ 에 대해 $ \int_\Omega [u(-\Delta)^\alpha \xi + g(u)\xi] dx = k \int_\Omega \frac{\partial^\alpha \xi}{\partial \vec{n}^\alpha} d\nu $ 라는 항등식을 통해 약한 해 개념을 설정한다.
• 절단 및 근사화 방법을 사용: $ g_n(s) = \min(g(s), n) $ 으로 정의하고, 측도 $ \nu $ 를 미세한 함수 $ \nu_n $ 로 근사한다.
• 녹그린 커널과 샤펜의 고정점 정리를 사용하여 정규화된 문제에 대한 고전적 해의 수열 $ u_n $ 을 구성한다.
• 특수한 추정을 통해 $ \omega(\lambda) = \int_{|u_n| > \lambda} \rho^\alpha_{\partial\Omega} dx $ 를 포함하는 미세한 추정을 통해 $ L^1(\Omega, \rho^{\beta}_{\partial\Omega} dx) $ 에서 $ g(u_n) $ 의 균일 적분 가능성을 증명한다.
• 바이탈리 수렴 정리 적용 후 극한을 취해 원래 방정식을 분포적 의미에서 만족하는 약한 해 $ u $ 를 얻는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $ \epsilon = 1 $ 일 때, 분수형 타원형 문제에 대해 경계 측도가 존재할 경우 $ g $ 가 어떤 조건을 만족해야 유일한 약한 해가 존재하는가?
• RQ2 비선형성 $ g $ 의 임계 지수는 무엇이며, 그 이상에서는 어떤 약한 해도 존재하지 않는가? 이 지수는 최적이냐?
• RQ3 경계에 있는 딜라크 질량 $ \delta_{x_0} $ 근처에서 해는 어떻게 점근적으로 행동하는가?
• RQ4 측도 강도 $ k \to +\infty $ 일 때 약한 해는 어떻게 되는가?
• RQ5 $ \epsilon = -1 $ 일 때, 양의 약한 해를 얻을 수 있으며, 이 경우 $ g $ 는 어떤 조건을 만족해야 하는가?

주요 결과

• $ \epsilon = 1 $ 일 때, $ g $ 가 연속적이고 비감소적이며 $ \int_1^\infty (g(s) - g(-s)) s^{-1 - \frac{N+\alpha}{N-\alpha}} ds < \infty $ 를 만족하면 유일한 약한 해가 존재한다.
• 임계 지수 $ \frac{N+\alpha}{N-\alpha} $ 는 최적이며, $ g(s) = s^{\frac{N+\alpha}{N-\alpha}} $ 일 경우 어떤 약한 해도 존재하지 않는다.
• 딜라크 질량 $ \delta_{x_0} $ 근처에서는 녹그린 커널과 분수형 법선 도함수에 의해 결정되는 정확한 점근적 행동을 보인다.
• $ k \to +\infty $ 일 때, 약한 해는 딜라크 질량을 가진 문제의 해로 수렴하며, 이 극한은 녹그린 커널을 통해 특징지어진다.
• $ \epsilon = -1 $ 일 때, $ g $ 가 연속적이고 $ \int_1^\infty g(s) s^{-1 - \frac{N+\alpha}{N-\alpha}} ds < \infty $ 를 만족하면 양의 약한 해가 존재한다. 이는 샤펜의 고정점 정리에 의해 증명된다.
• 근사해 수열 $ \{u_n\} $ 은 거의 어디서나 수렴하고 $ L^1(\Omega) $ 에서 수렴하며, $ g(u_n) \to g(u) $ 는 $ L^1(\Omega, \rho^\beta_{\partial\Omega} dx) $ 에서 수렴한다. 이는 극한이 약한 해임을 보장한다.