[논문 리뷰] Existence of almost free abelian groups and reflection of stationary set

Saharon Shelah|ArXiv.org|1996. 06. 15.

Advanced Topology and Set TheoryMathematics인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 포스팅과 반사 원리를 사용하여 알레프 함수의 첫 고정점 이하에서 거의 자유 아벨 군의 존재를 확립한다. 정규 반사가 없는 정규 집합에 관한 핵심 질문을 해결하고, NPT(비적절한 횡단선) 성질이 추이적이지 않음을 증명하며, 반복 포스팅을 통해 약한 컴팩트 기수 아래에서 일致성 결과를 도출한다.

ABSTRACT

section 2: We answer a question of Mekler Eklof on the closure operations of the incompactness spectrum. We answer a question of Foreman and Magidor on reflection of stationary subsets of S_{< aleph_2}(lambda) = {a subseteq lambda : |a| < aleph_2}]. section 3 - NPT is not transitive. We prove NPT(lambda, mu) + NPT(mu, kappa) not => NPT(lambda, kappa)

연구 동기 및 목표

• 알레프 함수의 첫 고정점 이하인 λ에 대해 λ-자유이지만 자유가 아닌 아벨 군의 존재를 확립하기 위해.
• 포먼과 매지더가 제기한 S<ℵ₂(λ)의 정규 부분집합의 반사 문제를 해결하기 위해.
• 메클러와 에클로프가 제기한 비콤팩트 스펙트럼 내의 폐쇄 연산에 관한 질문에 답하기 위해.
• NPT(비적절한 횡단선) 성질이 추이적이지 않음을 보여주기 위해, 즉 NPT(λ,μ)와 NPT(μ,κ)가 성립한다고 해서 NPT(λ,κ)가 성립하는지 여부를 증명하기 위해.
• 비반사 정규 집합을 사용한 포스팅을 통해 NPT(λ,μ)와 NPT(μ,ℵ₀)는 성립하지만 NPT(λ,ℵ₀)는 실패하는 모델을 구성하기 위해.

제안 방법

• 정규 집합 S ⊆ {δ < λ : cf(δ) = κ}의 비반사 부분집합을 사용한 포스팅을 통해 반사 성질을 파괴하면서도 NPT 성질을 유지한다.
• 이터레이티드 포스팅을 비반사 정규 집합과 함께 사용하고, Easton 지지와 ℵ₀-코헨 포스팅을 적용하여 NPT(λ,ℵ₀)가 실패하는 모델을 구성한다. 이 모델에서 NPT(λ,μ)와 NPT(μ,ℵ₀)는 성립한다.
• 이디얼 J^bd_κ와 ∏_{i<κ} λ_i / J에 속하는 ⟨f_α : α < μ⟩의 수열을 사용하여 양호한, 나쁜, 혼란스러운 점을 정의한다.
• 수열이 횡단선을 가지는 조건을 특성화하기 위해 <_J-eub(이디얼 J에 대한 정확한 상한) 개념을 사용한다.
• 정규 집합이 비반사 정규 집합과 서로소이고 유계 부분집합이 추가되지 않으면 PT(λ,ℵ₀)가 성립한다는 원리를 적용한다.
• 셸라의 [Sh:355], [Sh:161], [MgSh:204]의 결과에 기반하여 문제를 알려진 비콤팩트 현상으로 환원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 알레프 함수의 첫 고정점 이하인 λ에 대해 자유가 아니지만 λ-자유인 아벨 군이 존재하는가?
• RQ2 S<ℵ₂(λ)의 정규 부분집합이 반사하지 않을 수 있으며, 어떤 조건에서 그러한 반사 실패가 발생하는가?
• RQ3 NPT 성질은 추이적인가? 즉, NPT(λ,μ)와 NPT(μ,κ)가 성립하면 NPT(λ,κ)도 성립하는가?
• RQ4 두 약한 컴팩트 기수의 일관성이 가정될 때, NPT(λ,μ)와 NPT(μ,ℵ₀)는 성립하지만 NPT(λ,ℵ₀)는 실패하는 모델을 구성할 수 있는가?
• RQ5 비반사 정규 집합은 아벨 군 구성에서 횡단선 존재를 유지하거나 파괴하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• α = ℵ_α이고 α > ℵ₀일 때, λ < α 이면 λ-자유이지만 자유가 아닌 아벨 군이 존재하며, 이는 [Sh:161]의 ZFC 결과를 확인한다.
• 논문은 NPT(λ,μ)와 NPT(μ,ℵ₀)가 NPT(λ,ℵ₀)를 유도하지 않음을 증명하여, NPT 성질이 추이적이지 않음을 보여준다.
• 비반사 정규 집합 {δ < λ : cf(δ) = κ}을 추가하는 포스팅을 사용하여 NPT(λ,μ)와 NPT(μ,ℵ₀)는 성립하지만 NPT(λ,ℵ₀)는 실패하는 모델을 구성한다.
• 이 실패의 일관성은 ℵ₀ 이상의 두 개의 약한 컴팩트 기수의 존재를 가정하여 확립된다.
• 이 방법은 PT(κ,ℵ₀)를 유지하며, λ의 어떤 유계 부분집합도 추가하지 않아서, 일반화 확장에서 비콤팩트성이 유지된다.
• 결과는 정규 집합이 비반사 정규 집합과 서로소이고 유계 부분집합이 추가되지 않으면 PT(λ,ℵ₀)가 성립한다는 사실에 기반하며, 이는 포스팅 확장 하에서도 유지된다.