[논문 리뷰] Existence of strong minimizers for the Griffith static fracture model in dimension two

Sergio Conti, Matteo Focardi외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 10.

Numerical methods in engineering참고 문헌 47인용 수 36

한 줄 요약

이 논문은 두 차원에서 그리피스 정적 균열 모델에 대해 강한 최소화자를 존재시킴을 증명하며, 최소화자의 절단 집합이 닫혀 있고 변형이 연속적으로 미분 가능하다는 것을 보인다. 핵심 기여는 두 차원에서 SBDp 함수에 대한 벡터형 파oincaré 부등식을 제안함으로써, coarea 공식이 벡터형 경우에 실패하는 문제를 극복하고, Sobolev 함수에 의한 근사에 의해 컴actness와 정칙성을 확보하는 데 성공했다.

ABSTRACT

We consider the Griffith fracture model in two spatial dimensions, and prove existence of strong minimizers, with closed jump set and continuously differentiable deformation fields. One key ingredient, which is the object of the present paper, is a generalization of the decay estimate by De Giorgi, Carriero, and Leaci to the vectorial situation. This is based on replacing the coarea formula by a method to approximate $SBD^p$ functions with small jump set by Sobolev functions and is restricted to two dimensions. The other two ingredients are contained in companion papers and consist respectively in regularity results for vectorial elliptic problems of the elasticity type and in a method to approximate in energy $GSBD^p$ functions by $SBV^p$ ones.

연구 동기 및 목표

• 두 차원에서 그리피스 균열 모델에 대해 강한 최소화자의 존재를 확립한다.
• 작은 절단 집합을 가진 SBDp 함수에 대해 벡터형 Poincaré 부등식을 구성하여, 벡터형 설정에서 coarea 공식의 부재를 극복한다.
• 완화된 기능의 최소화자가 닫힌 절단 집합을 가지며, 균열 집합 외부에서는 C1임을 증명한다.
• 두 차원에서 선형 탄성 설정으로의 De Giorgi–Carriero–Leaci 접근법을 확장한다.
• 선형 탄성과 표면 에너지를 고려한 취약한 균열 이론의 존재 이론 기반을 마련한다.

제안 방법

• 작은 절단 집합을 가진 SBDp 함수에 대해 W1,p 함수로의 새로운 근사 결과를 제안하며, 이는 오직 두 차원에서만 유효하다.
• 이 근사 결과를 이용해, 스칼라 경우에서 사용된 coarea 공식을 대체하는 SBDp 함수에 대한 Poincaré 유형 부등식을 유도한다.
• 이 근사 결과를 활용해, SBVp 함수의 유계 타원형을 이용하여 GSBDp 함수의 에너지를 제어하며, GSBDp 근사에 관한 보조 결과를 활용한다.
• 새로운 Poincaré 부등식과 선형 탄성 시스템의 타원형 정칙성 이론을 조합하여, 균열 집합 외부에서 최소화자의 C1 정칙성을 도출한다.
• 에너지 비교와 척도 분석에 기반한 감소 추정을 사용하여 절단 집합의 하한 밀도를 증명한다.
• 두 차원에서는 최소화자의 절단 집합이 본질적으로 닫혀 있음을 이용하여, 닫힌 균열 집합 Γ = cl(Ju)를 정의할 수 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 차원에서의 그리피스 균열 모델은 C1 변형과 닫힌 균열 집합을 가진 강한 최소화자를 허용하는가?
• RQ2 에너지가 대칭화된 기울기의 함수에 의존할 때, De Giorgi–Carriero–Leaci 감소 추정이 벡터형으로 확장 가능한가?
• RQ3 두 차원에서 SBDp 함수에 대해 coarea 공식을 피하는 Poincaré 유형 부등식이 존재하는가?
• RQ4 두 차원에서 GSBDp 함수는 유계 타원형을 가진 SBVp 함수로 에너지 측면에서 근사 가능한가?
• RQ5 최소화자의 절단 집합이 닫혀 있고, 변형이 균열 외부에서 C1임을 보장하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 기능 (1.1)은 두 차원에서 닫힌 균열 집합과 C1 변형의 클래스 내에 최소화자를 가진다.
• 모든 최소화자의 절단 집합은 본질적으로 닫혀 있으며, H1(Ω ∩ Ju) = H1(Ω ∩ cl(Ju))가 성립한다.
• 최소화자는 Ω \ Ju, 즉 균열 집합의 여집합에서 C1 미분 가능하다.
• 모든 x ∈ Ω ∩ Ju 및 충분히 작은 ρ에 대해 H1(Ju ∩ Bρ(x)) ≥ ϑ1ρ의 하한 밀도가 성립하며, ϑ1는 문제의 매개변수에만 의존한다.
• 이 증명은 두 차원에서 SBDp 함수에 대한 새로운 Poincaré 유형 부등식에 크게 의존하며, 이는 coarea 공식을 대체한다.
• 결과는 fµ(ξ) = 1/p((Cξ·ξ + µ)^{p/2} - µ^{p/2}) 및 h(x,z) = κ|z - g(x)|^p 형태의 p-성장 에너지로 확장되며, p ≤ 2일 경우 g ∈ L∞(Ω; R2)이고, p > 2일 경우 g ∈ W1,p(Ω; R2)이다.