[논문 리뷰] Existence of weak solutions to multiphase Cahn–Hilliard–Darcy and Cahn–Hilliard–Brinkman models for stratified tumor growth with chemotaxis and general source terms

Patrik Knopf, Andrea Signori|arXiv (Cornell University)|2022. 01. 01.

Mathematical Biology Tumor Growth참고 문헌 97인용 수 25

한 줄 요약

이 논문은 영양소 소비 및 일반적인 소스 항목을 고려한 다상 Cahn–Hilliard–Darcy 및 Cahn–Hilliard–Brinkman 시스템을 통해 층상 종양 성장 모델링에 대한 전역 약한 해의 존재성을 확립한다. 이 모델은 다수의 세포 유형과 화학 종(species)을 포함하며(예: 산소, 영양소), 종양 세포와 건강한 세포를 나타내기 위해 단계 필드 함수를 사용하고, 종양 진화를 위한 Cahn–Hilliard 방정식과 영양소 동역학을 위한 반응-확산 방정식을 결합한다. 주요 결과는 점탄성 점도 감소 근사법을 통해 Brinkman 및 Darcy 형태 모두에 대한 약한 해 존재성을 엄밀히 증명하는 것이다.

ABSTRACT

We investigate a multiphase Cahn–Hilliard model for tumor growth with general source terms. The multiphase approach allows us to consider multiple cell types and multiple chemical species (oxygen and/or nutrients) that are consumed by the tumor. Compared to classical two-phase tumor growth models, the multiphase model can be used to describe a stratified tumor exhibiting several layers of tissue (e.g., proliferating, quiescent and necrotic tissue) more precisely. Our model consists of a convective Cahn–Hilliard type equation to describe the tumor evolution, a velocity equation for the associated volume-averaged velocity field, and a convective reaction-diffusion type equation to describe the density of the chemical species. The velocity equation is either represented by Darcy’s law or by the Brinkman equation. We first construct a global weak solution of the multiphase Cahn–Hilliard–Brinkman model. After that, we show that such weak solutions of this system converge to a weak solution of the multiphase Cahn–Hilliard–Darcy system as the viscosities tend to zero in some suitable sense. This means that the existence of a global weak solution to the Cahn–Hilliard–Darcy system is also established.

연구 동기 및 목표

• 기존의 이중상 모델보다 더 정확하게 층상 조직층(증식성, 휴면성, 괴사성)을 반영할 수 있는 다상 수학적 모델을 개발한다.
• 확산 인터페이스 프레임워크 내에서 카이모타시스, 영양소 소비 및 일반 소스 항목을 통합한다.
• Cahn–Hilliard–Brinkman 및 Cahn–Hilliard–Darcy 시스템에 대한 전역 약한 해 존재성을 엄밀히 확립한다.
• 점도가 0으로 수렴함에 따라 Brinkman 모델의 약한 해가 Darcy 모델의 약한 해로 수렴함을 보인다.
• 복잡한 조직 이질성을 가진 환자 맞춤형 종양 성장 시뮬레이션을 위한 이론적 기반을 제공한다.

제안 방법

• L 종양 세포 유형과 M 종류의 화학 종(species, 예: 산소, 영양소)을 포함하는 다상 Cahn–Hilliard 시스템을 설정하며, 단계 필드 함수 ϕ와 σ를 사용한다.
• 종양 진화를 위한 Cahn–Hilliard 방정식과 영양소 동역학을 위한 반응-확산 방정식을 결합한다.
• 유체 역학적 및 다공성 매질 역학적 종양 역학을 가능하게 하기 위해 점도를 포함한 Brinkman 법칙 또는 점도가 없는 Darcy 법칙에 따라 체적 평균 속도 v를 제어한다.
• Sobolev 공간 내 테스트 함수를 사용한 변분 형태를 통해 약한 해를 유도한다.
• 점도 감소 근사 기법을 적용한다: Brinkman 모델의 해를 구성하고 점도 → 0으로 수렴하는 극한을 취함으로써 Darcy 모델의 해를 복원한다.
• 콤팩트성 추론, 약한 수렴 및 사전 추정치를 활용하여 비선형 항에서 극한을 취하고 초기 조건을 복원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다상 Cahn–Hilliard 모델은 다수의 세포 유형과 화학 종을 고려하여 층상 종양 성장을 정확하게 기술할 수 있는가?
• RQ2 일반적인 소스 항목과 카이모타시스를 고려한 Cahn–Hilliard–Brinkman 시스템은 전역 약한 해를 갖는가?
• RQ3 점도가 0으로 수렴함에 따라 Cahn–Hilliard–Brinkman 모델의 약한 해가 Cahn–Hilliard–Darcy 모델의 약한 해로 수렴하는가?
• RQ4 점도가 무시할 만큼 작을 때 Darcy 법칙을 종양 성장 모델에 사용하는 데 대한 수학적 정당성은 무엇인가?
• RQ5 일반적인 소스 항목과 카이모타틱 효과는 확산 인터페이스 프레임워크 내에서 종양 역학에 일관되게 통합될 수 있는가?

주요 결과

• 일반적인 소스 항목과 카이모타시스를 고려한 다상 Cahn–Hilliard–Brinkman 시스템에 대해 전역 약한 해 존재성이 엄밀히 입증되었다.
• 점도가 적절한 방식으로 0으로 수렴함에 따라 Cahn–Hilliard–Brinkman 시스템의 약한 해가 Cahn–Hilliard–Darcy 시스템의 약한 해로 수렴한다.
• 극한 과정은 속도의 발산 자유 조건과 Cahn–Hilliard 방정식이 제어하는 인터페이스 역학 구조를 유지한다.
• 초기 조건이 극한에서 유지되어, 해가 약한 의미에서 t=0일 때 ϕ|t=0 = ϕ₀ 및 σ|t=0 = σ₀를 만족함을 보장한다.
• 압력 장이 경계에서 거의 어디서나 p|Σ = 0을 만족함을 입증하여 Darcy 형 운동량 방정식과의 일관성을 확인한다.
• 이 방법은 현실적인 생물학적 특성을 가진 복잡한 다상 종양 미세환경으로의 확산 인터페이스 모델 확장에 대해 강력한 분석적 프레임워크를 제공한다.