[논문 리뷰] Existence results in dislocation based rate-independent isotropic gradient plasticity with kinematical hardening and plastic spin: The case with symmetric local backstress

François Ebobisse, Patrizio Neff외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 08.

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures참고 문헌 32인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 볼록 해석과 변분 부등식을 사용하여, 운동학적 피로, 플라스틱 스핀, 대칭 국소 비틀림 응력과 함께 비율에 의존하지 않는 등방성 기울기 플라스티시티 모델에 대한 존재 결과를 처음으로 확립한다. 핵심 기여는 비대칭 플라스틱 변형의 컬에 의존하는 결함 에너지가 있는 비일관성 텐서장에 대해 새로운 코른 유형의 부등식을 도입하여, 해가 잘 정의되어 있음을 보장하는 것이다.

ABSTRACT

In this paper we use convex analysis and variational inequality methods to establish an existence result for a model of infinitesimal rate-independent gradient plasticity with kinematic hardening and plastic spin, in which the local backstress tensor remains symmetric. The model features a defect energy contribution which is quadratic in the dislocation density tensor Curl p, giving rise to nonlocal non-symmetric kinematic hardening. Use is made of a recently established Korn's type inequality for incompatible tensor fields. The solution space for the non-symmetric plastic distortion is naturally H(Curl) together with suitable tangential boundary conditions on the plastic distortion. Connections to other models are established as well.

연구 동기 및 목표

• 비율에 의존하지 않는 기울기 플라스티시티 모델에 대해 플라스틱 스핀과 운동학적 피로를 포함하여 수학적으로 해의 존재성을 확립하는 것.
• 비대칭 플라스틱 변형과 대칭 국소 비틀림 응력이 있는 모델의 잘 정의됨을 다루며, 이는 물리적으로 의미 있지만 수학적으로 도전적인 문제이다.
• 구르틴-아난드 모델을 플라스틱 스핀과 대칭 비틀림 응력을 포함하도록 확장하여 열역학적 일관성과 수학적 취급 가능성을 확보하는 것.
• 에너지 길이 척도와 대칭 비틀림 응력의 조합이 잘 정의됨을 보장하는 데 기여하며, 이는 오직 소산 길이 척도에 의존하는 모델과는 다르다.
• 에너지 최소화와 변분 원리를 통해 제안된 모델이 미크로형 및 비회전형 공식화와 어떻게 연결되는지 밝혀내는 것.

제안 방법

• 비대칭 플라스틱 변형에 대해 H(Curl) 공간에서 에너지 최소화 기반의 변분 부등식 프레임워크를 사용하여 문제를 수립한다.
• 비틀림 밀도 텐서 Curl p 에 대해 제곱형의 결함 에너지 항을 도입하여 비국소적이고 비대칭적인 운동학적 피로를 유도한다.
• 비일관성 텐서장에 대해 새로 확립된 코른 유형의 부등식을 적용하여 H(Curl) 노름에서 플라스틱 변형을 제어한다.
• 플라스틱 변형에 대해 접선 경계 조건을 도입한다: ∂Ω에서 p × n = 0 이고, ∂Ω \ Γ 에서 (Curl p) × n = 0 이며, 이는 물리적·수학적 일관성을 확보한다.
• 전체 에너지의 첫 번째 변분에서 미세 평형 방정식을 유도하여, 카우치 응력, 대칭 비틀림 응력, 곡률 항을 포함하는 관계를 도출한다.
• 순수 에너지 한계(ℓ = 0)에서 제안된 모델과 구르틴-아난드 모델의 비회전형 버전이 동치임을 증명하여, 이전에 다루지 못한 경우에 대한 존재 결과를 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 플라스틱 스핀과 대칭 국소 비틀림 응력이 있는 비율에 의존하지 않는 기울기 플라스티시티 모델이 수학적으로 잘 정의되어 있는가?
• RQ2 에너지 길이 척도와 대칭 비틀림 응력 간의 상호작용이 모델의 잘 정의됨에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 비일관성 텐서장에 대한 코른 유형의 부등식이 해의 존재성을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 제안된 모델은 비회전형 및 미크로형 공식화와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 선형 운동학적 피로를 포함하는 순수 에너지 버전의 구르틴-아난드 모델이 변분 방법을 통해 엄밀하게 다룰 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 변분 부등식 방법을 사용하여 플라스틱 스핀과 대칭 국소 비틀림 응력을 포함하는 비율에 의존하지 않는 등방성 기울기 플라스티시티 모델에 대해 약한 해의 존재를 증명한다.
• 비일관성 텐서장에 대해 새로운 코른 유형의 부등식이 확립되었으며, 이는 비대칭 플라스틱 변형의 H(Curl) 노름을 제어하여 강제성( coercivity )을 보장하는 데 응용되었다.
• 모델의 잘 정의됨은 오직 소산 길이 척도가 아니라 에너지 길이 척도와 대칭 비틀림 응력의 조합에 의해 결정된다.
• 순수 에너지 버전의 구르틴-아난드 모델에 선형 운동학적 피로를 포함한 경우, ℓ → 0 극한에서 제안된 모델과의 식별을 통해 해가 존재함을 보였다.
• 에너지 최소화에서 유도된 미세 평형 방정식은 응력 평형과 곡률 기반 비틀림 응력의 관계를 재현하며, 미크로형 및 기울기 플라스티시티 프레임워크와 일관된다.
• p와 Curl p에 대한 경계 조건은 물리적으로 의미 있고, 변분 공식화와 수학적으로 호환되며, 임의의 가정 없이 도출되었다.