[논문 리뷰] Existence, uniqueness and approximation for stochastic Schrodinger equation: the Poisson case

Clément Pellegrini|ArXiv.org|2007. 09. 24.

Quantum Mechanics and Applications참고 문헌 21인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 랜덤 측도 이론과 이산 양자 반복 상호작용 모델을 사용하여, 포아송 과정에 의해 구동되는 슈뢰딩거 방정식의 해가 존재하고 유일하며 약한 수렴성을 갖는다는 것을 증명한다. 이는 연속적인 점프 유형 양자 궤적을 구체적인 이산 시간 물리 모델의 극한으로서 도출함으로써 벨라킨 점프 방정식을 무작위 결합 한계 방법을 통해 엄밀히 정당화한다.

ABSTRACT

In quantum physics, recent investigations deal with the so-called "quantum trajectory" theory. Heuristic rules are usually used to give rise to "stochastic Schrodinger equations" which are stochastic differential equations of non-usual type describing the physical models. These equations pose tedious problems in terms of mathematical justification: notion of solution, existence, uniqueness, justification... In this article, we concentrate on a particular case: the Poisson case. Random measure theory is used in order to give rigorous sense to such equations. We prove existence and uniqueness of a solution for the associated stochastic equation. Furthermore, the stochastic model is physically justified by proving that the solution can be obtained as a limit of a concrete discrete time physical model.

연구 동기 및 목표

• 점프 유형의 소음을 갖는 슈뢰딩거 방정식에 대한 엄밀한 수학적 기반을 제공하는 것.
• 해의 경로에 따라 변화하는 강제 과정이 존재할 경우, 점프 유형 방정식의 해 정의에 대한 모호함을 해결하는 것.
• 연속적인 점프 모델이 물리적으로 실현 가능한 이산 시간 양자 반복 측정 과정의 극한으로서 도출될 수 있는지 확인하는 것.
• 랜덤 포아송 측도 이론과 경로 기반 분석을 사용하여 약한 해의 존재성과 유일성을 확립하는 것.
• D([0,T])에서 이산 양자 궤적의 분포 수렴성을 증명하는 것.

제안 방법

• 해의 상태에 따라 변화하는 강도 문제를 해결하기 위해, 점프 방정식 내의 슈뢰딩거 적분을 랜덤 포아송 측도 이론을 사용해 엄밀히 정의한다.
• 이산 및 연속 양자 궤적을 비교하기 위해 무작위 결합 한계 방법을 적용하여 수렴 분석을 가능하게 한다.
• 각 시스템이 시간 h 동안 앤실라 체인과 상호작용하는 양자 반복 상호작용 프레임워크 내에서 재정렬된 상호작용 모델을 활용한다.
• 점프 방정식을 위한 이산 오일러 스킴을 개발하고, 새로운 이산 그론발라 유형의 부등식을 사용하여 수렴성을 증명한다.
• 조건부 기대와 모멘트 유계를 사용하여 이산 및 연속 과정 간의 차이를 제어한다.
• 오일러 스킴의 유계와 극한 과정의 수렴을 결합하여 스코로호드 공간 D([0,T])에서의 분포 수렴을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 강제 과정의 강도가 상태에 따라 변화하는 경우, 점프 유형의 소음을 갖는 슈뢰딩거 방정식을 위한 엄밀한 확률적 프레임워크를 구축할 수 있는가?
• RQ2 포아송 과정에 의해 구동되는 벨라킨 점프 방정식에 대해 약한 해가 존재하고 유일한가?
• RQ3 연속적인 점프 모델은 반복 양자 측정의 구체적인 이산 물리 모델의 극한으로 도출될 수 있는가?
• RQ4 고전적 확률적 적분 이론이 실패할 경우, 이산 양자 궤적이 연속 해로 수렴하기 위해 필요한 수학적 기법은 무엇인가?
• RQ5 점프 과정에 대해 쿠르츠-프로터 유형의 수렴 결과가 존재하지 않을 경우, 어떻게 수렴을 확립할 수 있는가?

주요 결과

• 랜덤 포아송 측도 이론을 사용하여 포아송 과정에 의해 구동되는 슈뢰딩거 방정식의 약한 해의 존재성과 유일성이 엄밀히 증명되었다.
• 스핀 체인과의 반복 상호작용 및 이산 측정을 기반으로 한 이산 양자 궤적 모델이 D([0,T])에서 연속 양자 궤적으로 분포 수렴함을 입증하였다.
• 새로운 이산 그론발라 유형의 부등식을 사용하여, 점프 방정식을 위한 이산 오일러 스킴의 수렴성이 증명되었으며, 오차는 O(1/n)로 유계되었다.
• 이 수렴 결과는 비마코프성 강도를 가진 시스템에서도 이산 및 연속 역학 간의 비교를 가능하게 하는 무작위 결합 한계 방법에 의존한다.
• 해가 물리적으로 실현 가능한 모델의 극한으로서 도출됨을 보여, 오랫동안 히우리스틱으로 유도된 해가 정당화됨을 입증하였다.
• 모든 유한 구간 [0,T]에서 시간에 대해 균일하게 수렴하며, 큰 n에 대해 오차가 O(1/n)로 감소함을 입증하였다.