[논문 리뷰] Existence, Uniqueness and Regularity of Decoupling Fields to Multidimensional Fully Coupled FBSDEs

Alexander Fromm, Peter Imkeller|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 01.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 8인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 분리장 개념을 도입하여 다차원 완전히 결합된 전진-역행 확률미분방정식(FBSDEs)에 대해 전역 존재성, 유일성 및 정칙성 이론을 수립한다. 리프시츠 조건 하에서 구조적 피카르-린델뢰프 반복을 사용하고 최대 구간 개념을 도입함으로써, 해의 변분 미분 가능성과 모순 기반 방법을 통해 잘 정의된 문제임을 검증함으로써, 기존의 1차원 및 잘 정의된 경우를 초월한 결과를 확장한다.

ABSTRACT

We develop an existence, uniqueness and regularity theory for general multidimensional strongly coupled FBSDE using so called decoupling fields. We begin with a local result and extend it to a global theory via concatenation. The cornerstone of the global theory is the so called maximal interval which is, roughly speaking, the largest interval on which reasonable solutions exist. A method to verify that the maximal interval is the whole interval, for problems in which this is conjectured, is proposed. As part of our study of the regularity of solutions constructed we show variational differentiability under Lipschitz assumptions. Extra emphasis is put on the more special Markovian case in which assumptions on the Lipschitz continuity for the FBSDE can be weakened to local ones, and additional regularity properties emerge.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 존재성, 유일성 및 정칙성 이론을 1차원 및 잘 정의된 경우를 초월한 다차원 강하게 결합된 FBSDEs에 대해 수립하기.
• 최대 구간을 핵심 개념으로 도입하여 합리적인 해가 존재할 수 있는 가장 큰 정의역을 나타내기.
• 리프시츠 조건 하에서 초기 조건에 대한 해의 변분 미분 가능성 수립하기.
• 특히 최대 구간이 [0,T]로 추측될 경우에 최대 구간이 [0,T]임을 확인하기 위한 일반적인 모순 기반 방법 제안하기.
• 전역 리프시츠 조건을 국소 리프시츠 조건으로 약화시키면서도 정규성과 존재성을 유지하는 마코프 케이스로 정규성 결과 확장하기.

제안 방법

• 작은 간격에서 수축적 피카르-린델뢰프 반복을 통해 국소 해를 구성함으로써, 전역 리프시츠 연속성 조건 하에서 존재성과 유일성을 보장한다.
• 분리장은 국소적으로 FBSDE 시스템을 분리시키는 난수장으로 정의되며, 반복적 해 구축을 가능하게 한다.
• 겹치는 간격들에 걸쳐 국소 해를 연결함으로써 이론을 전역적으로 확장하며, 최대 구간 개념에 의존한다.
• 약한 및 변분 도함수를 사용하여 초기 조건 x에 대한 해가 약한 미분 가능함을 증명함으로써 변분 미분 가능성을 확립한다.
• 최대 구간이 [0,T]임을 확인하기 위한 모순 기반 검증 방법을 도입한다. 이는 잘 정의된 문제임을 증명하는 데 기여한다.
• 최대 구간의 왼쪽 경계에서 분리장의 행동을 분석하여, 잘 정의되지 않은 경우의 필요 조건을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다차원 완전히 결합된 FBSDE가 전체 시간 간격 [0,T]에서 해를 갖기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 강하게 결합된 FBSDE의 해가 존재하는 가장 큰 간격—즉, 최대 구간—을 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ3 초기 조건 x에 대한 해 과정 X, Y, Z의 변분 미분 가능성을 보장하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 최대 구간이 전체 간격 [0,T]임을 어떻게 검증할 수 있는가? 이는 잘 정의된 문제임을 확인하는 데 기여한다.
• RQ5 마코프 케이스에서 전역 리프시츠 조건을 국소 리프시츠 조건으로 어떻게 약화시킬 수 있으며, 정규성과 존재성을 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 계수의 전역 리프시츠 연속성 조건 하에서, 구조적 피카르-린델뢰프 반복을 사용하여 분리장에 대한 국소 존재성 및 유일성 결과를 확립한다.
• 해 (X, Y, Z)가 초기 조건 x에 대해 약한 미분 가능함이 입증되어, 비마코프 케이스에서 변분 미분 가능성을 확립한다.
• 최대 구간은 합리적인 해가 존재할 수 있는 가장 큰 정의역으로 정의되며, 0을 포함하는 닫힌 간격임이 입증된다.
• 최대 구간이 [0,T]임을 확인하기 위한 모순 기반 방법을 제안하여, 잘 정의된 문제임을 증명한다.
• 마코프 케이스에서 전역 리프시츠 조건을 국소 리프시츠 조건으로 대체할 수 있으며, 이는 분리장의 개선된 정규성 성질을 이끈다.
• 약한 미분 가능성의 증명은 소볼레프 유형 공간에서의 약한 수렴과 유계 도메인 내 테스트 함수의 사용에 기반하며, 르베그 미분 정리에 의해 약한 도함수의 L2노름에 대한 유계를 도출한다.