[논문 리뷰] Exotic Invertible Phases with Higher-Group Symmetries

Po-Shen Hsin, Wenjie Ji외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 05. 20.

Topological Materials and Phenomena참고 문헌 61인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 3+1차원에서의 가역적 위상적 위상—이른바 가역적 이색 루프 위상 순서(iELTO)로 불리는 새로운 클래스를 소개한다. 이는 $\mathbb{Z}_2$ 일차 대칭과 로렌츠/시간역전 대칭을 조합한 시공간 두 개그룹 대칭에 의해 지배된다. 이 이론은 유일한 루프 진동자가 존재하며, 그 세계면의 교차에서 마이너스 부호를 얻는 특징이 있으며, 이는 페르미온 통계와 유사하다. 또한 경계면에서는 캐리널 수가 $\pm1$인 편향된 중심 전하를 가지며, 이는 측정 가능한 열홀 전도도 $\pm \frac{\pi k_B T}{6\hbar}$를 유도한다. 이는 전통적인 시간역전 대칭 시스템과의 차이를 보인다.

ABSTRACT

We investigate a family of invertible phases of matter with higher-dimensional exotic excitations in even spacetime dimensions, which includes and generalizes the Kitaev's chain in 1+1d. The excitation has $\mathbb{Z}_2$ higher-form symmetry that mixes with the spacetime Lorentz symmetry to form a higher group spacetime symmetry. We focus on the invertible exotic loop topological phase in 3+1d. This invertible phase is protected by the $\mathbb{Z}_2$ one-form symmetry and the time-reversal symmetry, and has surface thermal Hall conductance not realized in conventional time-reversal symmetric ordinary bosonic systems without local fermion particles and the exotic loops. We describe a UV realization of the invertible exotic loop topological order using the $SO(3)_-$ gauge theory with unit discrete theta parameter, which enjoys the same spacetime two-group symmetry. We discuss several applications including the analogue of "fermionization" for ordinary bosonic theories with $\mathbb{Z}_2$ non-anomalous internal higher-form symmetry and time-reversal symmetry.

연구 동기 및 목표

• 고차원 시공간 대칭을 가진 가역적 위상적 위상을 분류함으로써, 페르미온 SPT의 분류를 확장함.
• 유일한 이색 루프 진동자와 비정상적인 바리링 통계를 지닌 새로운 3+1차원 위상—iELTO—를 식별하고 특성화함.
• iELTO의 경계면이 비정상적인 대칭 실현을 포함하며, 캐리널 수가 $\pm1$임을 보여주고, 이로 인해 유한한 열홀 전도도가 발생함을 입증함.
• iELTO 위상과 그 시공간 두 개그룹 대칭을 실현하는 미세 구조 게이지 이론 모델(예: $\mathbb{Z}_2$ 두 개그룹 게이지 이론 및 $SO(3)_{\theta=2\pi}$)을 구축함.
• 이를 일반화하여, 임의의 짝수 차원으로 확장하고, $2n$-차원 시공간에서 $\mathbb{Z}_2$ $(n-1)$-형 대칭을 규명함.

제안 방법

• 저자들은 시공간 두 개그룹 대칭을 포함한 고차 대칭 이론의 프레임워크를 사용하여 위상을 분류함. 이는 $O(4)$ 로렌츠 대칭과 $\mathbb{Z}_2$ 일차 대칭을 조합한 것임.
• iELTO의 연속장 이론 기술로 $\mathbb{Z}_2$ 두 개그룹 게이지 이론을 사용하며, $\theta$-항을 포함한 작용 $\frac{\pi}{2} \int B^2$를 제시함.
• 다양한 다양체, 예를 들어 $S^3 \times S^1$에서의 분할 함수를 계산하여, 시간역전 대칭에 대해 비정상적인 변환을 보임을 보임.
• 경계 물리학은 이상함 유입을 통해 분석되며, 캐리널 수가 $\pm1$임과 동시에 열홀 전도도가 $\pm \frac{\pi k_B T}{6\hbar}$임을 드러냄.
• 미세 구조 모델은 $SO(3)_{\theta=2\pi}$ 게이지 이론을 사용하여 구성되며, 이는 이색 루프 진동자와 두 개그룹 대칭을 실현함.
• 페르미온화된 $\mathbb{Z}_2$ 일차 SPT의 응용을 통해 새로운 위상을 생성하며, 코homology 위에서의 우 클래스와 이차형식을 사용하여 분할 함수를 계산함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시공간 두 개그룹 대칭을 포함하는 3+1차원에서의 가역적 위상의 분류는 무엇인가? 이는 $\mathbb{Z}_2$ 일차 대칭과 로렌츠 대칭을 조합한 것임.
• RQ2 iELTO의 이색 루프 진동자는 세계면의 교차에서 어떻게 행동하며, 교차 시 어떤 통계 부호를 획득하는가?
• RQ3 iELTO의 경계 이상은 무엇이며, 이는 비영인 열홀 전도도를 어떻게 유도하는가?
• RQ4 미세 구조 게이지 이론, 예를 들어 $\mathbb{Z}_2$ 두 개그룹 게이지 이론 또는 $SO(3)_{\theta=2\pi}$가 iELTO 위상과 그 대칭을 실현할 수 있는가?
• RQ5 페르미온화된 $\mathbb{Z}_2$ 일차 SPT는 어떻게 고차원에서 이색 루프 통계를 지닌 새로운 가역적 위상을 생성할 수 있는가?

주요 결과

• 3+1차원의 iELTO 위상은 $\mathbb{Z}_8$로 분류되며, 이는 $\mathbb{Z}_2$ 일차 대칭이 이색 루프 진동자에서 비정상적으로 작용함을 의미함.
• iELTO의 경계면은 캐리널 수가 $\pm1$을 가지며, 이는 열홀 전도도가 $\pm \frac{\pi k_B T}{6\hbar}$로 나타나며, 이는 전통적인 시간역전 대칭 시스템과의 차이를 보이는 측정 가능한 서명임.
• iELTO의 분할 함수는 시간역전 대칭에 대해 $e^{\pm i\frac{\pi}{2} \int q_0(B')}$의 위상 인자로 변환되며, 이는 비정상적인 대칭 이상을 나타냄.
• iELTO 위상은 $\frac{\pi}{2} \int B^2$ 작용을 가진 $\mathbb{Z}_2$ 두 개그룹 게이지 이론 또는 이색 루프 진동자를 지닌 $SO(3)_{\theta=2\pi}$ 게이지 이론을 통해 미세 구조적으로 실현될 수 있음.
• 고차원의 짝수 차원에서는 이 이론이 $2n$-차원 시공간에서 $\mathbb{Z}_2$ $(n-1)$-형 대칭으로 일반화되며, 유일한 $(n-1)$-브레인 진동자가 존재하며, 그 세계면의 교차에서 마이너스 부호를 획득함.
• 페르미온화된 $\mathbb{Z}_2$ 일차 SPT는 분할 함수가 두 번째 우 클래스 $v_2$에 의존하는 새로운 위상을 생성하며, $Z_{F[T]}[\rho_2] = \delta_{\rho_2, v_2}$ 및 $Z_{F[T/\mathbb{Z}_2]}[\rho_2] = \delta_{\rho_2, 0} e^{i\pi \sigma/4}$로 표현됨.