[논문 리뷰] $S$-duality of $u(1)$ gauge theory with $ heta =\pi$ on non-orientable manifolds: Applications to topological insulators and superconductors

Max A. Metlitski|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 19.

Black Holes and Theoretical Physics인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 RP⁴에서의 분할 함수 계산을 통해, θ = π인 u(1) 게이지 이론과 비가역 다각형에서 시간역전 대칭이 T 또는 CT 대칭을 통해 실현되는 이론 사이의 S dual을 확립한다. 두 이론의 분할 함수가 동일한 것으로 나타나 이중성을 확인하며, 이는 θ = π에서 게이지화된 위상 절연체(클래스 AII)와 게이지화된 위상 초전도체(클래스 AIII)가 S dual임을 지지하는 것이다.

ABSTRACT

Electric-magnetic duality ($S$-duality) is a well-known property of pure $u(1)$ gauge theory in 3+1 dimensions. In this paper, we investigate the compatibility of this duality with time-reversal symmetry. We consider two theories obtained by coupling a Dirac fermion with an "inverted" sign of the mass $m$ to a $u(1)$ gauge field. Time-reversal in the two theories is implemented respectively via the $T$ and $CT$ symmetries of the Dirac fermion. It was recently conjectured (C. Wang and T. Senthil (arXiv:1505.03520), and M. Metlitski and A.Vishwanath (arXiv:1505.05142)) that in the $|m| o \infty$ limit these two theories are $S$-dual to each other. We provide support for this conjecture by studying partition functions of the two theories on non-orientable manifolds as a way to probe the realization of time-reversal. Upon integrating out the Dirac fermion, topological terms in the actions of the two theories are generated. While on an orientable manifold topological terms in both theories reduce to a $ heta$-term with $ heta = \pi$, on a non-orientable manifold they are distinct. We explicitly compute partition functions of the two theories on the manifold $\mathbb{RP}^4$ and show that they are equal; this result combined with certain physical arguments is sufficient to establish the duality. The two theories can be viewed as a gauged topological insulator in class AII and a gauged topological superconductor in class AIII, and the bulk duality allows us to derive previously conjectured non-trivial symmetric gapped surface states of these phases.

연구 동기 및 목표

• θ = π에서 u(1) 게이지 이론의 S dual과 시간역전 대칭의 호환성을 조사한다.
• T 및 CT 시간역전 대칭을 통해 실현된 두 개의 서로 다른 페르미온 이론이 상호 S dual인지 확인한다.
• 체적 dual을 통해 위상 절연체와 초전도체의 비가역 대칭적 고립 표면 상태를 유도한다.
• 비가역 다각형에서 페르미온 S dual에 있어서 위상 항과 스핀 구조의 역할을 명확히 한다.

제안 방법

• 비가역 다각형 RP⁴에서 디랙 페르미온과 θ = π를 가진 두 개의 u(1) 게이지 이론의 분할 함수를 계산한다.
• 페르미온 행렬식과 Reidemeister 토르션을 사용하여 분할 함수를 계산하며, T와 CT 시간역전 실현 방식을 구분한다.
• S dual 아래에서 분할 함수를 비교하여, RP⁴ 상에서 두 이론 모두에서 동일한 값을 얻는다.
• 비가역 다각형에서, 페르미온을 적분하여 얻는 위상 항은 T와 CT 경우에 서로 다를 수 있으나, 전체 분할 함수는 S dual에 대해 그대로 유지됨을 이용한다.
• 체적 dual을 적용하여 위상 절연체(클래스 AII)와 초전도체(클래스 AIII)의 표면 상태를 분류한다.
• 경계 분류와 해석적 토르션을 사용하여 분할 함수의 불변성과 위상 불변량 간의 관계를 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 T 및 CT 시간역전 대칭을 통해 실현된 두 개의 u(1) 게이지 이론(θ = π)은 상호 S dual인가?
• RQ2 비가역 다각형에서 T 및 CT 경우에 위상 항이 다르게 나타나는 상황에서 S dual은 어떻게 나타나는가?
• RQ3 서로 다른 위상 항이 존재함에도 불구하고, RP⁴에서 분할 함수의 동일성이 S dual을 확립할 수 있는가?
• RQ4 비가역 다각형에서 페르미온 S dual에 있어서 스핀 구조와 선형 번들(선다발)의 역할은 무엇인가?
• RQ5 이 dual은 위상 절연체 및 초전도체에서 대칭적 고립 표면 상태의 존재에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• T 및 CT 시간역전 대칭을 가진 두 이론의 분할 함수는 RP⁴에서 동일하며, 이는 S dual에 대한 강력한 증거이다.
• 비가역 다각형에서, 디랙 페르미온을 적분하여 유도된 위상 항은 T 및 CT 경우에 서로 다르지만, 전체 분할 함수는 S dual에 대해 불변이다.
• 이 dual은 θ = π에서 게이지화된 위상 절연체(클래스 AII)와 게이지화된 위상 초전도체(클래스 AIII)가 S dual임을 확인한다.
• 분할 함수의 동일성은 Reidemeister 토르션과 해석적 토르션과 관련되며, 후자는 RP⁴에서의 분할 함수와 정확히 일치한다.
• dual은 이러한 위상 상에서 비가역 대칭적 고립 표면 상태의 존재를 암시하며, 이는 이전의 추측과 일치한다.
• 비가역 다각형에서 전역 시간역전 대칭이 존재하지 않음에도 불구하고, 분할 함수의 구조에 의해 dual은 유지된다.