[논문 리뷰] Exotic symplectic manifolds from Lefschetz fibrations

Maksim Maydanskiy|arXiv (Cornell University)|2009. 06. 11.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 24인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 $n$ 이 짝수일 때 코타angent 번들의 부분공간 $T^*S^{n+1}$ 에 하위임계 핸들을 붙임으로써, 모든 홀수 복소 차원에서 미분구조는 같지만 심플렉틱 구조는 다른 두 개의 리우빌 도메인 $W_0$ 와 $W_1$ 을 구성한다. 세이델의 랩프드 플로어 코homology에서의 정확한 삼각형을 이용하여, 저자들은 $W_1$ 의 랩프드 후카야 카테고리가 자명하다는 것을 보이며, 이는 그것이 컴팩트한 정확한 리만 곡면을 포함하지 않음을 의미한다. 반면 $W_0$ 는 정확한 리만 구면을 포함하고 있어, 이는 그들의 심플렉틱 비동치성을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper we construct, in all odd complex dimensions, pairs of Liouville domains W_0 and W_1 which are diffeomorphic to the cotangent bundle of the sphere with one extra subcritical handle, but are not symplectomorphic. While W_0 is symplectically very similar to the cotangent bundle itself, W_1 is more unusual. We use Seidel's exact triangles for Floer cohomology to show that the wrapped Fukaya category of W_1 is trivial. As a corollary we obtain that W_1 contains no compact exact Lagrangian submanifolds.

연구 동기 및 목표

• 홀수 복소 차원에서 서로 미분구조는 같지만 심플렉틱 구조는 다른 이국적인 심플렉틱 다양체를 구성하는 것.
• 랩프드 플로어 코homology와 랩프드 후카야 카테고리에 의한 리우빌 도메인의 심플렉틱 유형을 구별하는 것.
• 랩프드 후카야 카테고리가 자명한 리우빌 도메인 $W_1$ 이 존재함을 보여주며, 이는 컴팩트한 정확한 리만 곡면이 존재하지 않음을 암시한다.
• 레프셰츠 필라션과 플로어 이론적 불변량을 이용하여, 동치가 아닌 심플렉틱 구조를 가진 동치의 미분구조를 가진 예를 구체적으로 제시하는 것.

제안 방법

• 하나의 디스크 위에 레프셰츠 필라션의 전체공간으로서 $W_0$ 와 $W_1$ 을 구성하기 위해, $n$ 이 짝수일 때 $T^*S^{n+1}$ 에 하위임계 $n$-핸들을 붙인다.
• 섬세한 순환과 쐐기의 형태를 이용하여, 레프셰츠 필라션을 통한 전체공간의 위상적 성질을 기록한다.
• 플로어 코homology에서 세이델의 정확한 삼각형을 적용하여, $W_0$ 와 $W_1$ 의 쐐기의 랩프드 플로어 코homology 군을 비교한다.
• 스펙트럴 시퀀스와 모듈러 구조를 이용하여, $W_1$ 에서는 $HW(ar{A}, ar{A}) = 0$ 이지만 $W_0$ 에서는 $HW(ar{A}, ar{A}) eq 0$ 임을 보인다.
• 소멸하는 랩프드 플로어 코homology는 스펙트럴 시퀀스의 추론을 통해 컴팩트한 정확한 리만 곡면이 존재하지 않음을 암시한다.
• 리우빌 도메인의 완비화를 이용하여 무한대에서의 심플렉틱 동형사상과 컴팩트하게 지지된 정확한 1-형식을 통한 리우빌 동형사상의 분석을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 서로 미분구조가 같은 두 리우빌 도메인은 랩프드 플로어 코homology 불변량을 통해 식별될 수 있는가?
• RQ2 리우빌 도메인에서 랩프드 후카야 카테고리가 자명할 경우, 컴팩트한 정확한 리만 곡면이 존재하지 않는다는 것을 의미하는가?
• RQ3 하위임계 핸들 부착은 리우빌 도메인의 랩프드 플로어 코homology와 심플렉틱 위상수학에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 레프셰츠 필라션을 이용하여 동일한 미분구조를 가진 다양체에 대해 이국적인 심플렉틱 구조를 구성할 수 있는가?
• RQ5 세이델의 정확한 삼각형은 리우빌 도메인에서 심플렉틱 비동치성을 감지하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 리우빌 도메인 $W_0$ 와 $W_1$ 은 서로 미분구조는 같지만 심플렉틱 구조는 다르며, 이는 새로운 종류의 이국적인 심플렉틱 다양체를 제공한다.
• $W_1$ 은 랩프드 플로어 코homology의 소멸성에 의해 자명한 랩프드 후카야 카테고리임을 보였다.
• $W_1$ 에서는 랩프드 플로어 코homology $HW(\bar{A}, \bar{A})$ 가 소멸하지만 $W_0$ 에서는 비영이므로, 이는 그들의 심플렉틱 유형을 구별한다.
• $W_1$ 은 컴팩트한 정확한 리만 곡면을 포함하지 않지만, $W_0$ 는 정확한 리만 구면 $S^{n+1}$ 을 포함한다.
• 스펙트럴 시퀀스의 추론에 따르면, $W_1$ 에서 $HF(L,L) = 0$ 이면 $HW(L,\bar{A}) = 0$ 이어야 하는데, 이는 플로어의 결과와 모순된다. 유일한 해소는 코homology 가 소멸할 경우이다.
• 이 구성은 하위임계 핸들 부착이 미분구조는 유지하나 플로어 이론적 불변량을 극적으로 변화시킬 수 있음을 보여준다.