[논문 리뷰] Explicit Constructions of Two-Dimensional Reed-Solomon Codes in High Insertion and Deletion Noise Regime

Tai Do Duc, Shu Liu외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 08.

Coding theory and cryptography참고 문헌 28인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 유한체에서의 차집합 집합과 순환군의 순환군 코스터의 대칭적 구조를 활용하여, 점차적으로 싱글턴 경계에 도달하는 삽입/삭제 오류를 수정할 수 있는 2차원 리드-솔로몬 코드의 명시적 구성법을 제시한다. 저자들은 유한체에서의 대칭적 대수적 구조를 활용하여 $ d = 2n - 4 $의 삽입/삭제 거리 코드를 구성하였으며, 이는 $ n = \Theta(\sqrt{\log q}) $ 길이에서 이전의 로그적 오류 수정 능력에 비해 크게 향상된 near-optimal 오류 수정 성능을 달성한다.

ABSTRACT

Insertion and deletion (insdel for short) errors are synchronization errors in communication systems caused by the loss of positional information in the message. Reed-Solomon codes have gained a lot of interest due to its encoding simplicity, well structuredness and list-decoding capability in the classical setting. This interest also translates to the insdel metric setting, as the Guruswami-Sudan decoding algorithm can be utilized to provide a deletion correcting algorithm in the insdel metric. Nevertheless, there have been few studies on the insdel error-correcting capability of Reed-Solomon codes. Our main contributions in this paper are explicit constructions of two families of 2-dimensional Reed-Solomon codes with insdel error-correcting capabilities asymptotically reaching those provided by the Singleton bound. The first construction gives a family of Reed-Solomon codes with insdel error-correcting capability asymptotic to its length. The second construction provides a family of Reed Solomon codes with an exact insdel error-correcting capability up to its length. Both our constructions improve the previously known construction of 2-dimensional Reed-Solomon codes whose insdel error-correcting capability is only logarithmic on the code length.

연구 동기 및 목표

• 삽입/삭제 노이즈가 높은 환경에서 높은 삽입/삭제 오류 수정 능력을 갖는 리드-솔로몬 코드의 명시적 구성법 부족 문제를 해결하기 위해.
• 기존의 구성법이 코드 길이에 대해 오직 로그적 삽입/삭제 오류 수정 능력만을 제공하는 제한점을 극복하기 위해.
• 싱글턴 경계에 의해 주어진 이론적 상한에 가까운 삽입/삭제 거리 $ d = 2n - 4 $를 갖는 명시적 2D 리드-솔로몬 코드를 구성하기 위해.
• 조건 $ q \geq n^2 $ 하에 유도된 상한과 일치하는 $ d = 2n - 4 $의 삽입/삭제 거리를 갖는 코드를 구성하기 위한 프레임워크를 수립하기 위해.
• DNA 스토리지 및 레이스트랙 메모리와 같은 동기화 오류가 자주 발생하는 시스템에서 리드-솔로몬 코드의 적용 범위를 확장하기 위해.

제안 방법

• 모든 비영인 원소가 최대 두 번씩만 나타나도록, 크기가 $ \Theta(\sqrt{f}) $인 부분집합 $ T \subset \mathbb{Z}_f $를 구성하여 차집합 $ T - T $ 의 다중도를 제한하기 위해.
• 리드-솔로몬 코드의 평가 점을 정의하기 위해 $ f $ 모듈로의 순환군 코스터와 원시근을 사용하여 대수적 구조를 유지하고 삽입/삭제 거리에 대한 제어를 확보하기 위해.
• $ \mathbb{Z}_{r^2 + r + 1} $에서의 차집합 이론을 적용하여, 모든 비영인 차이가 정확히 한 번씩 나타나는 부분집합 $ T $를 생성하기 위해.
• $ q = p^s \equiv 1 \pmod{f} $ 이고 $ s \geq \text{ord}_f(p) $ 를 만족시키는 조건을 활용하여 $ q > n^2 $ 를 확보함으로써 삽입/삭제 거리에 대한 날카운 상한을 가능하게 하기 위해.
• 유도된 삽입/삭제 거리가 정확히 $ d = 2n - 4 $임을 증명하여, $ q \geq n^2 $ 조건 하에 싱글턴 유형 부등식으로부터 유도된 상한과 정확히 일치함을 보여주기 위해.
• Guruswami-Sudan 리스트 디코딩 알고리즘을 삽입/삭제 메트릭스에 적응시켜 구성된 코드의 효율적 디코딩을 지원하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 명시적 2D 리드-솔로몬 코드를 삽입/삭제 오류 수정 능력이 싱글턴 경계에 가까워지도록 구성할 수 있는가?
• RQ2 조건 $ q \geq n^2 $ 하에 삽입/삭제 거리 $ d = 2n - 4 $를 갖는 리드-솔로몬 코드를 구성하는 데 어떤 대수적 구조가 기여하는가?
• RQ3 유한 순환군에서의 차집합을 어떻게 활용하여 고산입/삭제 거리를 갖는 평가 점을 설계할 수 있는가?
• RQ4 기존에 알려진 $ k=2 $ 인 경우의 $ \log_{k+1}n - 1 $ 능력보다 2D 리드-솔로몬 코드의 삽입/삭제 거리를 향상시킬 수 있는가?
• RQ5 리드-솔로몬 코드의 쌍대 코드와 삽입/삭제 메트릭스 하에서의 삽입/삭제 거리 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 저자들은 $ q \geq n^2 $ 조건 하에 상한 $ d \leq 2n - 4 $ 를 달성하는 2D 리드-솔로몬 코드의 가족을 구성하였으며, 이는 이론적 한계와 정확히 일치한다.
• 코드 길이 $ n = \Theta(\sqrt{\log q}) $ 는 이전의 구성법에서의 로그 길이보다 훨씬 더 빠르게 증가하여 확장성 측면에서 크게 향상되었다.
• 구성은 명시적이며 $ f = \Theta(\log q) $ 인 $ f $ 모듈로의 원시근의 존재에 의존하며, 이는 $ q > n^2 $ 를 보장하고 삽입/삭제 거리에 대한 날카운 상한을 가능하게 한다.
• 유한체 $ \mathbb{Z}_{r^2 + r + 1} $ 내의 차집합 구성은 $ T - T $ 의 모든 비영인 차이가 정확히 한 번씩 나타나도록 보장하며, 이 성질은 $ \mathbb{Z}_f $ 에서 다중도가 제한된 상태로 유지된다.
• 구성된 코드의 삽입/삭제 오류 수정 능력은 점차적으로 $ n - 3 $ 에 도달하여, 2D 코드의 싱글턴 경계 이론적 최대치에 가까워진다.
• 이 작업은 $ q \geq n^2 $ 를 만족하는 큰 필드 $ \mathbb{F}_q $ 상의 2D 리드-솔로몬 코드가 전체 싱글턴 경계 $ d = 2n - 2k + 2 $ 를 달성할 수 없으며, 대신 $ d = 2n - 4 $ 로 제한됨을 보여주며, 이는 날카운 상한임을 입증한다.