[논문 리뷰] Exponential ergodicity for SDEs and McKean-Vlasov processes with Lévy noise

Mingjie Liang, Mateusz B. Majka외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 30.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 44인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 라플라스 유형의 드리프트 조건 하에서 레비 노이즈에 의해 구동되는 SDE 및 맥클리언-플라소프 과정에 대해 지수적 에르고딕성을 확립한다. 커플링 기법, $L^1$-와서스타인 거리, 그리고 라플라스 함수를 조합하여, 대칭성이나 유한 활동성이 없는 일반적인 순수 점프 레비 과정을 포함한 경우에도, 총 변동 및 와서스타인 거리 측도에서 불변 분포로의 거의 확실한 지수적 수렴을 증명한다.

ABSTRACT

We study stochastic differential equations (SDEs) of McKean-Vlasov type with distribution dependent drifts and driven by pure jump Lévy processes. We prove a uniform in time propagation of chaos result, providing quantitative bounds on convergence rate of interacting particle systems with Lévy noise to the corresponding McKean-Vlasov SDE. By applying techniques that combine couplings, appropriately constructed $L^1$-Wasserstein distances and Lyapunov functions, we show exponential convergence of solutions of such SDEs to their stationary distributions. Our methods allow us to obtain results that are novel even for a broad class of Lévy-driven SDEs with distribution independent coefficients.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 라플라스 유형의 드리프트 조건 하에서 레비 노이즈에 의해 구동되는 SDE의 지수적 에르고딕성을 확립하기 위해.
• 기존의 커플링 기반 방법을 복합 포isson나 대칭 α-스테이블 사례를 초월한 일반적인 순수 점프 레비 과정으로 확장하기 위해.
• 레비 노이즈가 있는 상호작용 입자 시스템의 시간에 관계없이 일관된 혼돈의 전파를 증명하고, 맥클리언-플라소프 근사로의 수렴을 정량화하기 위해.
• 드리프트와 노이즈에 대한 일반적인 조건 하에서 분포에 의존하는 드리프트를 갖는 맥클리언-플라소프 SDE의 지수적 에르고딕성을 확립하기 위해.
• 이러한 SDE 및 맥클리언-플라소프 과정에 대해 총 변동 및 $L^1$-와서스타인 거리에서 수렴 속도에 대한 정량적 경계를 제공하기 위해.

제안 방법

• 균형 상태 수렴 분석을 위해 커플링 기법과 $L^1$-와서스타인 거리를 조합한다.
• 드리프트를 제어하고 과정의 안정성을 확보하기 위해 라플라스 함수를 적용한다.
• 레비 노이즈의 점프 구조를 반영하는 새로운 커플링 구성법을 도입한다.
• 분포 수렴을 측정하기 위해 $L^1$-와서스타인 거리 $W_1(\mu_1, \mu_2) = \inf_{\Pi} \int |x-y| \, d\Pi(x,y)$를 사용한다.
• 입자 시스템과 맥클리언-플라소프 근사 간의 차이에 대한 경계를 통해 혼돈의 전파를 확립한다.
• 모멘트 경계를 유도하고 두 번째 모멘트를 제어하기 위해 생성자 $L[\mu]f(x)$를 $f(x) = |x|^2$에 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 라플라스 유형의 드리프트 조건 하에서 레비 노이즈가 있는 SDE에 대해 지수적 에르고딕성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 커플링 기법은 복합 포isson나 대칭 α-스테이블 사례를 초월한 일반적인 순수 점프 레비 과정으로 확장될 수 있는가?
• RQ3 레비 노이즈가 있는 상호작용 입자 시스템이 맥클리언-플라소프 SDE로 수렴하는 속도는 무엇인가?
• RQ4 분포에 의존하는 드리프트를 갖는 맥클리언-플라소프 SDE에 대해 일반적인 조건 하에서 지수적 에르고딕성을 증명할 수 있는가?
• RQ5 이러한 과정에 대해 총 변동 및 $L^1$-와서스타인 거리에서 수렴에 대한 정량적 경계는 무엇인가?

주요 결과

• 라플라스 드리프트 조건 $\langle x, b(x) \rangle \leq -\lambda |x|^2$ 하에서, 레비 노이즈가 있는 SDE에 대해 총 변동 및 $L^1$-와서스타인 거리에서 지수적 에르고딕성이 성립한다.
• 수렴 속도는 지수적이다: $\|P_t(x,\cdot) - \mu\|_{\text{Var}} \leq c_1(x) e^{-\lambda t}$ 및 $W_1(P_t(x,\cdot), \mu) \leq c_2(x) e^{-\lambda t}$, 여기서 $\lambda > 0$이다.
• 어떤 $\kappa_0 \in (0,1]$에 대해 $J(\kappa_0) > 0$이면 충분하며, 이는 이전의 가정보다 훨씬 약한 조건이다.
• 맥클리언-플라소프 SDE의 경우, $L^1$-와서스타인 거리에서 $O(1/\sqrt{n})$의 순서로 시간에 관계없이 일관된 혼돈 전파가 확립된다.
• 드리프트 및 노이즈에 대한 일반적인 조건 하에서 맥클리언-플라소프 과정에 대해 지수적 에르고딕성이 증명되었으며, 이는 $\int_{|z| \geq 1} |z| \nu(dz) < \infty$ 및 $J(\kappa_0) > 0$을 포함한다.
• 생성자를 $f(x) = |x|^2$에 적용하여 모멘트 경계를 도출하였으며, 적절한 드리프트 및 노이즈 조건 하에서 $\mathbb{E}|X_t|^2 \leq \mathbb{E}|X_0|^2 + C_4$임을 보였다.