[논문 리뷰] Exponential Martingales and Time integrals of Brownian Motion

Victor Goodman, Kyounghee Kim|ArXiv.org|2006. 12. 01.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 지르산의 정리에 기반한 새로운 측도 변화 기법을 사용하여 지수 브라운 운동의 시간 적분에 대한 확률 밀도 및 하측 꼬리 행동에 대한 정확한 표현을 유도한다. 주요 기여는 $\mathbb{E}\left[\exp\left(\theta / \int_0^t \exp(B_s)\,ds\right)\right]$ 가 유한한지 여부를 $\theta < 2$ 인 경우에만 확인하는 것으로, 오랫동안 남아있던 모멘트 문제를 해결하고 아시안 옵션 가격 정책을 위한 새로운 공식을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We find a simple expression for the probability density of $\int \exp (B_s - s/2) ds$ in terms of its distribution function and the distribution function for the time integral of $\exp (B_s + s/2)$. The relation is obtained with a change of measure argument where expectations over events determined by the time integral are replaced by expectations over the entire probability space. We develop precise information concerning the lower tail probabilities for these random variables as well as for time integrals of geometric Brownian motion with arbitrary constant drift. In particular, $E[ \exp\big(θ/ \int \exp (B_s)ds\big) ]$ is finite iff $θ&lt; 2$. We present a new formula for the price of an Asian call option.

연구 동기 및 목표

• 지수 마팅게일의 시간 적분인 $A_t = \int_0^t \exp(B_s - s/2)\,ds$ 의 정확한 분포적 성질를 유도하는 것.
• 일반적인 $\theta$ 에 대해 $\mathbb{E}\left[\exp\left(\theta / \int_0^t \exp(B_s)\,ds\right)\right]$ 형태의 모멘트의 유한성을 해결하는 것.
• 유도된 분포적 관계를 활용하여 아시안 콜 옵션 가격을 위한 새로운 공식을 개발하는 것.
• 임의의 드리프트를 가진 $A_t$ 와 관련된 시간 적분의 날카운 하측 꼬리 추정을 수립하는 것.

제안 방법

• 폭발 시간 $\tau_\infty$ 까지 유효한 시간-변경 브라운 운동 $\tilde{B}_t = B_t - 2\log(1 - \frac{y}{2}A_t)$ 를 사용한 지르산 유사 전환을 통한 측도 변화 적용.
• 과정 $R_t = -\frac{M_t}{y^{-1} - \frac{1}{2}A_t}$ 는 SDE $dR_t = R_t dB_t - \frac{1}{2}R_t^2 dt$ 를 만족하여 마팅게일 분석이 가능하다.
• 폭발 시간 $\tau_\infty$ 에서의 특이성을 다루기 위해 정지 시간 $\tau_n$ 이 도입되어 $[0, \tau_n]$ 에서 지르산 밀도가 마팅게일로 유지됨을 보장한다.
• 새로운 측도 $Q$ 에서 $A_t$ 를 포함하는 함수형의 기대값이 변환되어 밀도 및 꼬리 확률을 계산할 수 있다.
• 핵심 항등식 $\mathbb{E}\left[\exp\left(\frac{\theta}{\int_0^t \exp(B_s)\,ds}\right)\right] < \infty$ 이며 $= 2$ 인 경우에 유한함이 도출되며, 이는 $\int_0^t \exp(B_s + s/2)\,ds$ 의 분포와의 비교를 통해 이루어진다.
• 함수형의 기대값을 $M_t$ 와 $A_t$ 를 포함한 기대값으로 표현함으로써 아시안 콜 옵션 가격에 대한 새로운 공식이 도출된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어느 $\theta$ 값에 대해 $\mathbb{E}\left[\exp\left(\theta / \int_0^t \exp(B_s)\,ds\right)\right]$ 가 유한한가?
• RQ2 $\int_0^t \exp(B_s - s/2)\,ds$ 와 $\int_0^t \exp(B_s + s/2)\,ds$ 의 분포 간 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 기하 브라운 운동의 시간 적분을 사용하여 아시안 콜 옵션 가격에 대해 새로운 폐쇄형 표현을 도출할 수 있는가?
• RQ4 $A_t = \int_0^t \exp(B_s - s/2)\,ds$ 의 분포에 대한 날카운 하측 꼬리 추정은 무엇인가?

주요 결과

• $\mathbb{E}\left[\exp\left(\theta / \int_0^t \exp(B_s)\,ds\right)\right]$ 는 $\theta < 2$ 인 경우에만 유한하다.
• $A_t = \int_0^t \exp(B_s - s/2)\,ds$ 의 분포는 누적분포함수와 $\int_0^t \exp(B_s + s/2)\,ds$ 의 누적분포함수를 이용해 정확한 밀도로 표현할 수 있다.
• $A_t$ 의 하측 꼬리는 임의의 다항식보다 더 빠르게 감소하며, 측도 변화 기법을 통해 날카운 추정이 도출되었다.
• 아시안 콜 옵션 가격에 대한 새로운 공식이 도출되었다: $\mathbb{E}[(A_t - a)^+] = t - a + a^2 \mathbb{E}\left[(a + A_t)^{-1} \exp\left(\frac{2M_t}{a + A_t} - \frac{2}{a}\right)\right]$.
• $\frac{M_t}{A_t}$ 의 모멘트 생성 함수가 수퍼마팅게일임을 보이고, $\theta < 2$ 인 경우의 적분 가능성을 확립하였다.
• 결과는 임의의 드리프트 및 분산으로 확장 가능하며, $\sigma^2 \int_0^t \exp(\sigma B_s)\,ds$ 에 대해 적절한 시간 스케일링을 거친 후 동일한 유한성 조건 $\theta < 2$ 가 유지된다.