[논문 리뷰] Exponential unitary divisors

László Tóth, Nicuşor Minculete|arXiv (Cornell University)|2009. 10. 15.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 소인수분해에서 지수의 유니터리 약수를 취하여 만든 지수 유니터리 약수—즉, 지수의 유니터리 약수를 이용해 구성된 약수—를 도입하고 연구한다. 지수 유니터리 완전수를 정의하고, 이들 중 홀수인 수가 존재하지 않음을 증명한다. 이 논문은 관련 산술 함수에 대한 점점 가까워지는 근사 공식을 수립하고, 지수 약수 함수와 유사한 행동을 보임을 보여, 산술 함수의 콘볼루션에 관한 문헌의 빈도를 메운다.

ABSTRACT

We say that $d$ is an exponential unitary divisor of $n=p_1^{a_1}... p_r^{a_r}>1$ if $d=p_1^{b_1}... p_r^{b_r}$, where $b_i$ is a unitary divisor of $a_i$, i.e., $b_i\mid a_i$ and $(b_i,a_i/b_i)=1$ for every $i\in \{1,2,...,r\}$. We survey properties of related arithmetical functions and introduce the notion of exponential unitary perfect numbers.

연구 동기 및 목표

• 지수 약수와 유니터리 약수 개념을 융합하여 지수 유니터리 약수를 정의하고 조사한다.
• 기존의 유니터리 완전수와 지수 완전수와 유사한 새로운 수의 클래스인 지수 유니터리 완전수를 도입하고 분석한다.
• 산술 함수의 맥락에서 이전에 탐구되지 않은 지수 유니터리 콘볼루션을 연구하여 문헌의 빈도를 메운다.
• 지수 유니터리 약수와 관련된 수, 합, 오일러 유형 함수에 대한 점점 가까워지는 근사 공식을 유도한다.
• 비제곱자유 수와 3-free 지수 유니터리 완전수의 존재성과 관련된 열린 문제를 해결한다.

제안 방법

• n = p₁^a₁⋯pᵣ^aᵣ의 지수 유니터리 약수 d를 d = p₁^b₁⋯pᵣ^bᵣ로 정의한다. 여기서 각 bᵢ는 aᵢ의 유니터리 약수이므로 bᵢ | aᵢ 이고 gcd(bᵢ, aᵢ/bᵢ) = 1 이다.
• τ^(e*) (지수 유니터리 약수의 수), σ^(e*) (지수 유니터리 약수의 합), μ^(e*) (지수 유니터리 모비우스 함수), φ^(e*) (지수 유니터리 오일러 함수)를 도입한다.
• τ^(e*)와 σ^(e*)가 곱셈적임을 증명하고 명시적 공식을 유도한다: τ^(e*)(n) = ∏ᵢ 2^{ω(aᵢ)} 및 σ^(e*)(n) = ∏ᵢ ∑_{d|*aᵢ} pᵢ^d.
• 곱셈적 함수에 대한 일반 결과를 사용하여 φ^(e*)의 limsup 점점 가까워지는 행동을 수립한다 (log F(n) log log n / log n → sup (log f(m))/m).
• 1보다 작거나 같은 곱셈적 함수에 대한 일반적인 점점 가까워지는 공식을 적용하여 ∑_{n≤x} τ^(e*)(n)/τ^(e)(n) = x ∏_p (1 + ∑_{a≥4} (2^{ω(a)}/τ(a) - 2^{ω(a-1)}/τ(a-1))/p^a) + O(x^{1/4} log x) 를 유도한다.
• 디리클레 콘볼루션과 4-완전 정수의 성질을 활용하여 부분합을 추정하고 점점 가까워지는 전개에서 오차 항을 통제한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비제곱자유이면서 따라서 지수 완전수도 아닌 지수 유니터리 완전수는 존재하는가?
• RQ2 3으로 나누어지지 않는 지수 유니터리 완전수는 존재하는가?
• RQ3 지수 유니터리 완전수의 수는 유한한가, 무한한가?

주요 결과

• 유니터리 약수의 수가 짝수임과 지수의 약수합 비율에 대한 경계를 이용한 모순에 기반하여, 홀수인 지수 유니터리 완전수는 존재하지 않음을 증명한다.
• τ^(e*), σ^(e*), μ^(e*), φ^(e*)의 점점 가까워지는 행동은 각각의 지수 약수 대응 함수 τ^(e), σ^(e), μ^(e), φ^(e)와 유사하게 나타난다.
• 점점 가까워지는 공식이 수립된다: ∑_{n≤x} τ^(e*)(n)/τ^(e)(n) = x ∏_p (1 + ∑_{a≥4} (2^{ω(a)}/τ(a) - 2^{ω(a-1)}/τ(a-1))/p^a) + O(x^{1/4} log x).
• 비율 |μ^(e)(n)| / |μ^(e*)(n)| = |μ^(e)(n)| 는 e-제곱자유 정수의 특성 함수이며, 그 점점 가까워지는 밀도가 연구되었다.
• 지수 완전수이지만 지수 유니터리 완전수는 아닌 가장 작은 수는 17,424 = 2⁴·3²·11² 이다.
• 지수 유니터리 완전수는 무한히 많으며, 6과 서로소인 제곱자유 수 n에 대해 모든 36n이 포함된다.