[논문 리뷰] Exponentially $S$-numbers

Vladimir Shevelev|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 18.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 3인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 주어진 수열 $S \in \mathbf{S}$ 에서 모든 소인수의 지수들이 포함되는 지수적 $S$-수—즉, 양의 정수이면서 모든 소인수의 지수들이 $S$ 에 속하는 수—의 세数 함수에 대해 일반적인 점근 공식을 수립한다. $s(1) = 1$ 인 경우, 이러한 수들은 자연 밀도 $h(E(S))$ 를 가짐을 증명한다. 주요 결과는 명시적인 밀도 공식과 $c \approx 7.443$ 인 균일한 오차 항 $O\left(\sqrt{x}\log x \cdot e^{c\frac{\sqrt{\log x}}{\log\log x}}\right)$ 을 제공하며, 이는 모든 이러한 수열에 대해 균일하게 성립한다. 이 작업은 이전의 제곱 자유수 및 강력한 수에 관한 결과를 일반화하고, 더 넓은 범주인 지수적 $S$-수 체계로 확장한다.

ABSTRACT

Let $\mathbf{S}$ be the set of all finite or infinite increasing sequences of positive integers. For a sequence $S=\{s(n)\}, n\geq1,$ from $\mathbf{S},$ let us call a positive number $N$ an exponentially $S$-number $(N\in E(S)),$ if all exponents in its prime power factorization are in $S.$ Let us accept that $1\in E(S).$ We prove that, for every sequence $S\in \mathbf{S}$ with $s(1)=1,$ the exponentially $S$-numbers have a density $h=h(E(S))$ such that $$\sum_{i\leq x,\enskip i\in E(S)} 1 = h(E(S))x+R(x), where R(x) does not depend on $S$ and $h(E(S))=\prod_{p}(1+\sum_{i\geq2}\frac{u(i)-u(i-1)}{p^i}),$ where $u(n)$ is the characteristic function of $S.$

연구 동기 및 목표

• 지정된 수열 $S \in \mathbf{S}$ 에 대해 정의된 지수적 $S$-수—즉, 모든 소인수의 지수들이 $S$ 에 속하는 양의 정수—의 자연 밀도 $h(E(S))$ 가 존재하고 그 값을 명시적으로 계산하는 것.
• 모든 수열에 대해 균일하게 성립하는 오차 항을 도출하여, $s(1) = 1$ 이면 특정 $S$ 의 선택에 의존하지 않는 점근 세수 함수의 오차를 확보하는 것.
• 제곱 자유수 ($S = \{1\}$) 및 지수적 제곱 자유수 ($S = B$) 에 관한 이전 결과를 $s(1) = 1$ 인 임의의 수열 $S$ 로 일반화하는 것.
• 밀도 함수 $h(E(S))$ 의 구조와 수열 $S$ 의 특성 함수 $u(n)$ 에 대한 의존성에 대한 연구를 통해 오일러乘수 공식을 도출하는 것.
• 각 소수에 대해 별개의 지수 수열 $S_n$ 이 할당된 더 일반적인 설정으로의 확장으로, 새로운 종류의 지수적 $\mathbf{A}$-수 체계를 도입하는 것.

제안 방법

• 지수적 $S$-수를 정의하여, 모든 소인수의 지수들이 고정된 수열 $S \in \mathbf{S}$ 에 속하는 정수로 정의하며, 관례상 $1 \in E(S)$ 로 간주한다.
• 모든 $a \in E(S) \cap E(\Upsilon)$ 에 대해 인덱싱된 서로소인 클래스 $E(S)^{(a)}$ 로 $E(S)$ 를 분해하며, 여기서 $\Upsilon = \{2,3,4,\dots\}$ 이다.
• 제곱 자유수 중 $r$ 과 서로소인 수의 세수 함수 $b_r(x)$ 에 대해 레마 1 을 적용하며, 큰 $r$ 에 대해 나머지 항이 $O\left(\sqrt{x} \cdot e^{c\frac{\sqrt{\log r}}{\log\log r}}\right)$ 으로 유계임을 이용한다.
• 전체 세수 $\sum_{i \leq x, i \in E(S)} 1$ 을 $E(S) \cap E(\Upsilon)$ 에 속하는 $a$ 에 대해 $b_{r(a)}(x/a)$ 의 합으로 표현함으로써, 제곱 자유수의 밀도를 포함하는 점근 전개를 이끌어내는 것.
• 곱셈적 수론과 오일러乘수의 성질을 이용하여 밀도 공식 $h(E(S)) = \prod_p \left(1 + \sum_{i \geq 2} \frac{u(i) - u(i-1)}{p^i}\right)$ 을 유도하는 것.
• 수열 $\mathbf{A} = \{S_n\}$ 의 경우로 일반화하여, 각 소수 $p_n$ 에 대해 별개의 지수 수열 $S_n$ 이 할당된 경우를 고려하며, $\prod_n \left(1 + \sum_{i \geq 2} \frac{u_n(i) - u_n(i-1)}{p_n^i}\right)$ 를 포함하는 새로운 밀도 공식을 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 증가하는 양의 정수 수열 $S$ 에 대해 $s(1) = 1$ 이면 지수적 $S$-수 집합의 자연 밀도는 무엇인가?
• RQ2 모든 이러한 수열 $S$ 에 대해 지수적 $S$-수의 세수 함수에 대해 균일한 오차 항을 확보할 수 있는가?
• RQ3 밀도 $h(E(S))$ 는 수열 $S$ 의 특성 함수 $u(n)$ 에 어떻게 의존하는가?
• RQ4 모든 가능한 밀도 $"]\{h(E(S))\}$ 는 구간 $[6/\pi^2, 1]$ 에 조밀한가?
• RQ5 각 소수가 별개의 지수 수열 $S_n$ 을 가진 지수적 $\mathbf{A}$-수의 세수 함수의 점근적 행동은 어떠한가?

주요 결과

• 모든 수열 $S \in \mathbf{S}$ 에 대해 $s(1) = 1$ 이면 지수적 $S$-수 집합은 양의 자연 밀도 $h(E(S))$ 를 가지며, $s(1) > 1$ 이면 $h(E(S)) = 0$ 이다.
• 밀도는 오일러乘수 공식으로 명시적으로 주어진다: $h(E(S)) = \prod_p \left(1 + \sum_{i \geq 2} \frac{u(i) - u(i-1)}{p^i}\right)$, 여기서 $u(n)$ 은 $S$ 의 특성 함수이다.
• 세수 함수는 $\sum_{i \leq x, i \in E(S)} 1 = h(E(S))x + O\left(\sqrt{x} \log x \cdot e^{c \frac{\sqrt{\log x}}{\log \log x}}\right)$ 를 만족하며, 여기서 $c = 4\sqrt{2.4 / \log 2} \approx 7.443$ 이다.
• 오차 항은 $s(1) = 1$ 인 모든 수열 $S$ 에 대해 균일하며, 이전 특정 케이스의 결과들과 달리 리만 가설을 필요로 하지 않는다.
• $\{h(E(S))\}$ 는 $[6/\pi^2, 1]$ 에서 조밀하지 않다. $\prod_p (1 - \frac{p-1}{p^3})$ 와 $\prod_p (1 - \frac{1}{p^3})$ 사이에 양의 간격이 존재하므로, 이 구간 내의 모든 밀도가 달성 가능한 것은 아님을 보여준다.
• 각 소수 $p_n$ 에 대해 별개의 수열 $S_n$ 이 할당된 지수적 $\mathbf{A}$-수로의 일반화는 밀도 공식 $h(E(\mathbf{A})) = \prod_{n \geq 1} \left(1 + \sum_{i \geq 2} \frac{u_n(i) - u_n(i-1)}{p_n^i}\right)$ 을 도출하며, 동일한 오차 항의 구조를 유지한다.