[논문 리뷰] Extended Conditional G-Expectations and Related Stopping Times

Mingshang Hu, Shigē Péng|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 16.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 15인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 고전적 L_G^1 공간을 초월하는 랜덤 변수에 대해 시간에 일致하는 조건부 기댓값을 정의함으로써 G-기댓값 이론을 확장한다. 이는 단조 수열의 극한을 사용하여 이루어지며, 주요 기여는 L_G^{1*} 및 L_G^{1**}과 같은 더 큰 정의역으로의 엄밀한 확장을 통해 역동적 일致성(동적 일致성)을 유지하고, G-기댓값에 대해 선택적 멈춤 정리(optional stopping theorem)를 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper we extend the definition of time conditional G-expectations $\mathbb{\hat{E}}_{t}[\cdot]$ to a larger domain on which the dynamical consistency still holds. In fact we can consistently define, by taking the limit, the time conditional expectations for each random variable $X$ which is the downward limit (resp. upward limit) of a monotone sequence $\{X_{i}\}$ in $L_{G}^{1}(Ω)$. To accomplish this procedure, some careful analysis is needed. Moreover, we give a suitable definition of stopping times and obtain the optional stopping theorem. We also provide some basic and interesting properties for the extended conditional G-expectations.

연구 동기 및 목표

• 정적 불확실성과 경로에 따라 변하는 변동성을 고려할 때, 고전적 L_G^1 공간에서 G-기댓값의 한계를 해결한다. 이 공간은 정지 과정과 같은 중요한 랜덤 변수를 포함하지 않는다.
• L_G^1(Ω) 내의 단조 수열의 하향 및 상향 극한을 포함하도록 시간 조건부 G-기댓값의 정의역을 확장한다.
• 확장된 프레임워크에서 역동적 일치성(시간 일치성)이 유지됨을 보장한다.
• 정지 시간을 정의하고, 확장된 G-기댓값 프레임워크 하에서 선택적 멈춤 정리를 증명한다.
• Knightian 불확실성과 경로 의존적 변동성 존재 하에서 비선형 기댓값 이론에 대한 견고한 이론적 기반을 구축한다.

제안 방법

• L_G^{1*}(Ω)를 L_G^1(Ω) 내의 수열의 거의 확실한 하향 극한으로서 정의되는 랜덤 변수의 집합으로 정의한다.
• L_G^{1**}(Ω)를 L_G^{1*}(Ω) 내의 수열의 거의 확실한 상향 극한으로서 정의되는 랜덤 변수의 집합으로 정의한다.
• 단조 수열 X_n → X에 대해 극한 과정을 통해 조건부 G-기댓값 Ẽ_t[⋅]을 확장한다: Ẽ_t[X] = lim Ẽ_t[X_n].
• 수렴 보조정리를 사용하여 확장된 조건부 기댓값이 근사 수열에 독립적임을 보이며, 잘 정의되어 있음을 증명한다.
• G-프레임워크에 적응된 새로운 정지 시간 클래스를 도입하고, 확장된 G-기댓값 프레임워크 하에서 선택적 멈춤 정리를 증명한다.
• 확장된 조건부 기댓값에 대해 단조성, 단조 수열에 沿한 연속성, 그리고 탑재 성질(tower property)과 같은 핵심 성질을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간 조건부 G-기댓값은 L_G^1(Ω)를 초월하여 확장될 수 있으며, 이때 역동적 일치성이 유지될 수 있는가?
• RQ2 확장된 G-기댓값 프레임워크에서 정지 시간을 어떻게 정의하고, 선택적 멈춤 정리를 어떻게 증명할 수 있는가?
• RQ3 극한 과정을 통한 확장된 조건부 기댓값이 잘 정의되기 위한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ4 확장된 프레임워크는 정지 연속 과정의 결과로 생기는 랜덤 변수, 예를 들어 출구 시간 τ에서 정지된 과정 X_τ를 수용할 수 있는가?
• RQ5 확장된 공간 L_G^{1**}(Ω)에서 단조성, 탑재 성질 등의 성질들이 유지되는가?

주요 결과

• 모든 X ∈ L_G^{1*}(Ω) 또는 X ∈ L_G^{1**}(Ω)에 대해, Ẽ_t[X]는 단조 수열 X_n → X에 沿한 Ẽ_t[X_n]의 극한으로서 잘 정의된다.
• 확장된 조건부 기댓값은 단조성을 유지한다: 만약 X ≤ Y q.s. 이면, Ẽ_t[X] ≤ Ẽ_t[Y] q.s.
• 확장된 조건부 기댓값은 단조 수열에 대해 연속적이다: 만약 X_n ↓ X in L_G^{1*}(Ω) 이면, Ẽ_t[X_n] ↓ Ẽ_t[X] q.s.
• 탑재 성질이 성립한다: 모든 X ∈ L_G^{1**}(Ω)에 대해 Ẽ_s[Ẽ_t[X]] = Ẽ_{s∧t}[X].
• 선택적 멈춤 정리는 확장된 G-프레임워크에서 성립하며, 이는 비선형 마틴게일의 사용을 가능하게 한다.
• 확장된 프레임워크는 L_G^1(Ω)에 속하지 않지만 L_G^{1**}(Ω)에 속하는 랜덤 변수, 예를 들어 출구 시간 τ에서 정지된 과정 X_τ를 포함할 수 있다.