[논문 리뷰] Extended TQFT's and Quantum Gravity

Jeffrey C. Morton|ArXiv.org|2007. 09. 29.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 61인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 2-cobordизм의 2-카테고리에서 2벡터 공간의 2-카테고리로의 약한 2-함수로서 확장된 위상적 양자장이론(TQFT)을 서술한다. 유한군 게이지 이론(Dijkgraaf-Witten 모델)을 구체적 실현으로 사용하며, 연결과 게이지 변환의 군oids 위의 벡터 공간 값의 프레샤프에 대한 당김과 밀림 연산을 통해 이론을 구성한다. 이는 약한 2-함수의 공리를 만족시키며, 3차원 양자중력(Ponzano-Regge에 물질을 포함한 경우)을 복원함과 동시에, 리 군으로의 확장을 고려할 수 있다.

ABSTRACT

This paper gives a definition of an extended topological quantum field theory (TQFT) as a weak 2-functor Z: nCob_2 -> 2Vect, by analogy with the description of a TQFT as a functor Z: nCob -> Vect. We also show how to obtain such a theory from any finite group G. This theory is related to a topological gauge theory, the Dijkgraaf-Witten model. To give this definition rigorously, we first define a bicategory of cobordisms between cobordisms. We also give some explicit description of a higher-categorical version of Vect, denoted 2Vect, a bicategory of "2-vector spaces". Along the way, we prove several results showing how to construct 2-vector spaces of "Vect-valued presheaves" on certain kinds of groupoids. In particular, we use the case when these are groupoids whose objects are connections, and whose morphisms are gauge transformations, on the manifolds on which the extended TQFT is to be defined. On cobordisms between these manifolds, we show how a construction of ``pullback and pushforward'' of presheaves gives both the morphisms and 2-morphisms in 2Vect for the extended TQFT, and that these satisfy the axioms for a weak 2-functor. Finally, we discuss the motivation for this research in terms of Quantum Gravity. If the results can be extended from a finite group G to a Lie group, then for some choices of G this theory will recover an existing theory of Euclidean quantum gravity in 3 dimensions. We suggest extensions of these ideas which may be useful to further this connection and apply it in higher dimensions.

연구 동기 및 목표

• 표준 TQFT가 벡터 공간의 카테고리로의 함수로 정의되는 것과 유사하게, 확장된 TQFT를 2-카테고리 $ \mathbf{nCob}_2 $에서 2벡터 공간의 2-카테고리 $ \mathbf{2Vect} $로의 약한 2-함수 $ Z: \mathbf{nCob}_2 \to \mathbf{2Vect} $로 정의하는 것.
• 유한군 $ G $로부터 직접적으로 2-함수를 구성하는 것, Dijkgraaf-Witten 위상적 게이지 이론을 사용하여.
• 모서리가 있는 코버디즘을 위한 엄밀한 2-카테고리적 프레임워크와 2벡터 공간의 고차 카테고리적 구조를 제공하는 것.
• 확장된 TQFT와 양자중력 사이의 연결 고리를 설정하는 것, 특히 물질 장을 포함한 3차원에서의 경우.
• 이론을 유한군에서 리 군으로 확장할 수 있는 길을 제안하여, 적절한 $ G $ 선택으로 3차원에서의 유클리드 양자중력을 복원할 수 있도록 하는 것.

제안 방법

• 모서리가 있는 다양체와 콜라를 사용하여, 코버디즘 간의 코버디즘의 2-카테고리 $ \mathbf{nCob}_2 $를 정의한다.
• 군oids의 연결과 게이지 변환 위의 프레샤프로부터 구성된 2벡터 공간의 2-카테고리 $ \mathbf{2Vect} $를 도입한다.
• $ \mathbf{Vect} $-값 프레샤프에 대한 당김과 밀림 연산을 사용하여, $ \mathbf{2Vect} $의 2선형 사상(사상)과 2-사상(2-사상)을 정의한다.
• 각 다양체에 대해 $ G $-연결의 공간을, 각 코버디즘에 대해 이러한 프레샤프의 당김과 밀림을 할당하여 확장된 TQFT $ Z_G $를 구성한다.
• 결과로 얻어진 할당이 약한 2-함수의 공리, 즉 합성과 항등원에 대한 조율 조건을 만족하는지 확인한다.
• 수평적 및 수직적 합성의 호환성을 보장하기 위해 Verity의 이중 2-카테고리 프레임워크를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 모서리가 있는 코버디즘의 2-카테고리에서 2벡터 공간의 2-카테고리로의 약한 2-함수로 위상적 양자장이론을 확장할 수 있는가?
• RQ2 유한군 $ G $에 대한 Dijkgraaf-Witten 모델을 약한 2-함수 $ Z_G: \mathbf{nCob}_2 \to \mathbf{2Vect} $로 재구성할 수 있는가? 이 경우 사상과 2-사상의 명시적 구성이 가능한가?
• RQ3 연결과 게이지 변환의 군oids 위의 프레샤프는 확장된 TQFT에서 2벡터 공간과 2선형 사상을 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 제안된 구성은 3차원 양자중력에서 Ponzano-Regge 모델의 물질을 포함한 형태를 어떻게 복원하는가?
• RQ5 이론을 유한군에서 리 군으로 확장하기 위해 필요한 조건은 무엇인가? 이는 3차원에서 유클리드 양자중력을 복원할 수 있도록 한다.

주요 결과

• 논문은 연결과 게이지 변환의 군oids 위의 $ \mathbf{Vect} $-값 프레샤프에 대한 당김과 밀림 연산을 사용하여, Dijkgraaf-Witten 모델로부터 약한 2-함수 $ Z_G: \mathbf{nCob}_2 \to \mathbf{2Vect} $를 구성한다.
• $ \mathbf{2Vect} $의 사상은 코버디즘 沿해 당김과 밀림을 통해 유도된 2선형 사상으로 실현되며, 2-사상은 게이지 변환에 의해 유도된다.
• 이 구성은 약한 2-함수의 공리, 즉 합성과 항등원에 대한 조율 조건을 만족하며, Verity의 이중 2-카테고리 프레임워크를 통해 검증된다.
• 유한군 $ G $를 사용할 경우, 이론은 진공 상태를 초월하여 3차원 양자중력에서 Ponzano-Regge 모델의 물질을 포함한 형태를 복원한다.
• 이 프레임워크는 충분히 일반적이어서, 적절한 $ G $ 선택으로 리 군으로의 확장을 시사할 수 있으며, 이는 3차원에서 유클리드 양자중력을 복원할 수 있다.
• 모서리가 있는 코버디즘의 이중 2-카테고리에서 수평적 및 수직적 합성의 교환 법칙은 스펜의 범주에서의 보편 성질에 의해 성립한다.